Inteligencia y Libertad |
Francisco Capella |
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EJERCICIOS |
Aprende a pensarEjerciciosLo esencial de estos ejercicios es intentar resolverlos personalmente, pensar acerca de los posibles métodos de solución. Mirar directamente la respuesta es desperdiciar una buena oportunidad de aprender a pensar, de descubrir y superar las propias limitaciones, los bloqueos a la imaginación, las restricciones innecesarias, las suposiciones implícitas incorrectas.
Formación militarEn una formación militar con filas (ejes laterales) y columnas (ejes frontales) los más altos se colocan delante.
* ¿Quién es más alto, el más alto entre los más bajos de cada columna o el más bajo entre los más altos de cada fila? Son la misma persona.
* ¿Quién es más alto, el más alto entre los más bajos de cada fila o el más bajo entre los más altos de cada columna? Son la misma persona.
* ¿Quién es más alto, el más alto entre los más bajos de cada columna o el más bajo entre los más altos de cada columna? El más bajo entre los más altos de cada columna.
* ¿Quién es más alto, el más alto entre los más bajos de cada fila o el más bajo entre los más altos de cada fila? El más alto entre los más bajos de cada fila.
Tapa circular¿Por qué conviene que sean redondas las tapas sueltas de los agujeros en el suelo de la calle? Una tapa circular es la única que no se cuela y cae por su propio agujero de ninguna manera. Al mover una tapa no circular es posible que la tapa se cuele, caiga y deje el agujero al descubierto. Las tapas cuadradas suelen estar agarradas por un lado o fijadas de algún modo.
Cubo cortado¿Es posible para un carpintero cortar un cubo de madera en 27 cubos iguales con solamente seis cortes? ¿Es posible hacerlo con menos cortes? Seis cortes son suficientes, dos paralelos a cada eje de las tres dimensiones espaciales perpendiculares entre sí, a cada lado y a una distancia del borde de un tercio de la longitud de cada lado. No es posible hacerlo con menos recolocando piezas entre los cortes: el cubo central de los 27 tiene seis caras y cada una debe haber resultado de un corte distinto.
El taxista y el policíaUn honrado y eficiente policía de la circulación conduce su vehículo por una calle de sentido único cuando ve a un taxista yendo en dirección contraria, y sin embargo no le dice nada. ¿Por qué? El taxista va andando por la acera.
CandadosQuieres enviar un objeto muy valioso a una amiga, y tienes una caja metálica (donde el objeto cabe de sobra) con un anillo grande en el sistema de cierre para candados de diversos tamaños (pueden usarse varios simultáneamente para protección adicional). No puedes reunirte con tu amiga pero sí comunicarte con ella. ¿Cómo lo haces? Tú compras un candado y le dices a ella que compre otro. Envías el objeto en la caja con tu candado puesto. Ella añade su candado y te lo envía todo de vuelta. Quitas tu candado le envías la caja ahora sólo con su candado. Ella quita su candado, abre la caja y recupera el objeto. Así funciona la criptografía de doble clave privada.
Casa nuevaAcabo de comprar una casa nueva pero he descubierto que el constructor ha olvidado algo. En la tienda veo que afortunadamente es bastante barato: 7 por 1 euro, 10 por 2 euros y 100 por 3 euros. ¿De qué se trata y cuál es el precio de 210? Es el número de la casa y va a costarme 3 euros (1 por número).
Cajas vacíasTengo cajas vacías de tres tamaños: grande, mediano y pequeño. Tengo 11 cajas grandes. Dejo algunas cajas grandes vacías y en las otras pongo en cada una 8 cajas medianas. Dejo algunas de estas cajas medianas vacías y en las demás pongo 8 cajas pequeñas. Cuento y veo que tengo 102 cajas vacías en total. ¿Cuántas cajas tengo? Al meter ocho cajas de menor tamaño en una caja más grande, el número total de cajas vacías se incrementa en 7 unidades (8-1). Sea x el número de veces que 8 cajas vacías han sito introducidas en una caja mayor. Entonces 11 + 7x = 102, de donde x=13. En total se han utilizado 11 + 13x8 = 115 cajas.
Dos minerosDos mineros salen de la mina, uno con la cara muy sucia y el otro con la cara limpia. El de la cara sucia se va directamente a casa y el de la cara limpia corre a ducharse. ¿Por qué? No hay espejos, y cada uno ve la cara del otro y cree que él está igual.
Burro atadoUn burro está atado por el cuello a una cuerda de dos metros de longitud. ¿Cómo puede el burro alcanzar su comida que se encuentra a tres metros sin morder la cuerda o deshacer el nudo? 1. El burro está atado a la cuerda, pero el otro extremo de la cuerda no está atado a nada. 2. El burro está atado a un poste que con la cuerda determina un círculo de dos metros de diámetro. La comida está al otro lado del poste (a un metro) al alcance del burro.
Mentiras según el díaAlicia sabe que el rey miente lunes, martes y miércoles, y dice la verdad los otros días de la semana, mientras que la reina miente jueves, viernes y sábado, y dice la verdad los otros días de la semana. ¿Qué día de la semana es hoy si rey y reina dicen que ayer les tocó mentir? Generando y comprobando todas las posibilidades: Lunes. Rey: ayer mentí. Reina: ayer dije la verdad. Hoy es jueves.
AutocaníbalesLa última tribu de caníbales que se comían entre sí se extinguió hace poco: quedaban seis de ellos que decidieron sortear sucesivamente quién sería comido por los demás hasta que sólo quedara uno (y este último murió de indigestión). Si cada caníbal necesita dos horas para devorar una persona (independientemente de lo que haya comido antes y de lo gorda que sea la persona), ¿cuánto tiempo pasó hasta que sólo quedó uno? Si un caníbal come una persona en 120 minutos: La comida total duró 120+60+40+30+24=274 minutos.
DetrásPepe está de pie detrás de Juan y Juan está al mismo tiempo de pie detrás de Pepe en la misma habitación. ¿Cómo es esto posible? Porque están cada uno de espaldas al otro. Es típico el bloqueo o prejuicio mental de asumir incorrectamente que estar detrás implica estar mirando la espalda del otro, o sea en fila mirando en la misma dirección. Si Pepe está detrás de Juan, parece que Juan debe estar delante de Pepe.
Ajedrez y dominó¿Es posible cubrir con fichas de dominó un tablero de ajedrez del cual se han eliminado dos esquinas opuestas (en diagonal), sin que haya huecos y sin que ninguna ficha sobresalga de la zona a cubrir? Es imposible. Cada ficha de dominó cubre un cuadro blanco y otro negro, de modo que cubrir sin huecos ni sobresalir implica que el número de fichas de dominó es igual que el número de cuadros blancos e igual que el número de cuadros negros. Pero al eliminar dos esquinas opuestas de un tablero de ajedrez (8x8) desaparecen dos cuadros del mismo color, luego ya no puede haber el mismo número de cuadros blancos y negros.
La caída del limpiaventanasPepe está limpiando las ventanas de un edificio de muchos pisos subido a su escalera de 15 metros, cuando se resbala y cae directamente sobre el pavimento sin hacerse ningún daño. ¿Cómo es posible? Estaba limpiando las ventanas del piso más bajo, subido a la escalera en su parte de abajo.
Apagar la luzPepe llega a casa cansado del trabajo así que se pone el pijama para dormir; es tan rápido que apaga la luz en el interruptor en el otro extremo de la habitación y consigue meterse en la cama antes de que quede a oscuras. ¿Cómo es posible? Porque aún es de día.
El misterio del ascensorPepe vive en el décimo piso y cuando sale de casa baja en ascensor hasta la calle, pero al volver a casa utiliza el ascensor hasta el séptimo y sube los otros tres pisos andando, y no es por hacer ejercicio. ¿Por qué? A veces cuando sube con más gente sí llega en el ascensor hasta el décimo piso. Pepe es un niño que no llega hasta el botón del décimo piso en el ascensor. Cuando hay alguien más puede pedirles que aprieten el botón por él.
Apuesta sospechosaTe apuesto una moneda a que si tú me das dos monedas yo te devuelvo tres monedas. ¿Te interesa la apuesta? Si acepto la apuesta y tú la ganas porque se cumple lo estipulado, yo te he dado dos monedas y he recibido tres, y como he perdido la apuesta debo darte una más, así que me quedo como estaba. Si pierdes la apuesta porque te doy dos monedas pero no me devuelves nada, entonces si eres honrado me das la moneda de la apuesta y en total he perdido una moneda, y si no eres honrado te quedas con mis dos monedas y no cumples con lo apostado. No me interesa la apuesta porque me quedo como estaba o pierdo.
El avión y el vientoUn avión realiza un viaje de ida y vuelta entre A y B en línea recta y a velocidad constante. ¿Hay alguna diferencia en el tiempo total del viaje entre realizar el vuelo sin viento o con un viento de velocidad constante y uniforme de A hacia B? Con conocimientos sencillos de cinemática se puede calcular algebraicamente el tiempo total del vuelo en función de la distancia entre A y B, la velocidad del avión y la velocidad del viento. Pero es interesante razonar sin hacer ningún cálculo para decidir si hay o no diferencia en función del viento. La velocidad del avión respecto al aire es constante. La velocidad del avión respecto al suelo se obtiene sumando la velocidad del viento cuando este es de cola, y restándola cuando este es de cara. Si no hay viento (el aire está en reposo respecto al suelo), la velocidad del avión respecto al suelo es la misma durante la ida que durante la vuelta. Si el viento sopla de A a B, la velocidad en la ida es la que tendría en reposo más la del viento, y a la vuelta la velocidad es la que tendría en reposo menos la del viento. La velocidad que gana en la ida es la misma que pierde a la vuelta. Alguien podría pensar que como la velocidad que se gana en un trayecto es la misma que la que se pierde en el otro, el viento no supone ninguna diferencia y el tiempo total es el mismo con o sin viento, ya que la velocidad media es la misma. Pero esto es un error. Para que la velocidad media fuera la misma el tiempo de vuelo de ambos tramos debería ser el mismo, lo que es imposible porque la distancia es la misma pero se recorre a diferentes velocidades (t=s/v). Cuando el avión recorre una distancia fija más rápido (debido al viento de cola) lo hace en menos tiempo que si no hubiera viento. Cuando el avión recorre una distancia fija más despacio (debido al viento de cara) lo hace en más tiempo que si no hubiera viento. El avión emplea más tiempo del normal en la vuelta, que es cuando va más despacio, y menos tiempo del normal en la ida, que es cuando va más deprisa. El avión tarda más tiempo cuando hay viento que cuando no lo hay. El avión tarda más tiempo cuanto más fuerte sea el viento. Este problema puede entenderse con más claridad si se estudia qué pasa con vientos muy fuertes, de modo que alcancen en intensidad la velocidad del avión o incluso la superen. Con un viento fuerte el avión recorre el tramo de ida en poco tiempo, pero siempre tardará algo. Al aproximarse la velocidad del viento a la velocidad del avión la velocidad total del tramo de vuelta va haciéndose cada vez más pequeña y el avión tarda más y más en regresar. La situación límite se produce cuando la velocidad del viento es igual en intensidad que la del avión. En el tramo de ida tardará la mitad de lo normal, pero el tramo de vuelta tendrá una duración infinita, ya que al ser las velocidades iguales pero de sentido contrario se anulan y la velocidad total respecto al suelo es cero, el avión permanece eternamente sobre el punto B. Si la velocidad del viento es mayor que la del avión el tramo de ida es todavía más rápido pero el avión seguirá avanzando alejándose de A y de B aunque se dé la vuelta, no podrá regresar ni a A ni a B.
BifurcaciónEn su camino Pepe llega a una bifurcación: por un lado se llega al pueblo de los mentirosos (siempre mienten) y por el otro al pueblo de los sinceros (siempre dicen la verdad). En la bifurcación hay un habitante que procede de uno de los dos pueblos. ¿Qué pregunta puede hacerle Pepe para orientarse? Pepe debe preguntar en qué dirección está su pueblo. La que señale será la dirección del pueblo de los sinceros (los sinceros la indican porque viven allí y dicen la verdad; los mentirosos la indican porque no viven allí y mienten), y la otra la de los mentirosos.
Tesoro y gemelosAquiles está en una habitación con dos puertas: tras una de ellas está el tesoro, y tras la otra una muerte horrible. En la habitación hay dos hermanos gemelos idénticos que saben qué hay detrás de las puertas; uno siempre miente y el otro siempre dice la verdad. ¿Qué puede preguntar Aquiles a uno cualquiera de los dos para averiguar dónde está el tesoro? ¿Si le pregunto a tu hermano dónde está el tesoro, qué puerta señalaría? La puerta señalada es la de la muerte segura. Si le ha preguntado al mentiroso, este señalará la puerta de la muerte mintiendo respecto a lo que haría su hermano sincero. Si le ha preguntado al sincero, este dirá la verdad señalando la puerta que indicaría su hermano el mentiroso. Una sola pregunta con respuesta simple consigue combinar la información de dos fuentes diferentes. No es necesario saber qué gemelo miente y cuál dice la verdad, sólo qué puerta esconde el tesoro.
Bolsas de canicasTienes tres bolsas de canicas; cada bolsa tiene muchas canicas; en dos de las bolsas todas las canicas pesan 10 gramos y en una bolsa todas las canicas pesan 9 gramos. ¿Cómo averiguar cuál es la bolsa de las canicas ligeras si tienes una balanza de un solo plato que marca el peso en gramos y que puedes usar solamente una vez? Numera las bolsas 1, 2 y 3. Toma una canica de la bolsa 1, dos canicas de la bolsa 2 y tres canicas de la bolsa 3. Si la bolsa 1 es la de las canicas ligeras el peso será 9+2x10+3x10=59. Si la bolsa 2 es la de las canicas ligeras el peso será 10+2x9+3x10=58. Si la bolsa 3 es la de las canicas ligeras el peso será 9+2x10+3x9=57.
Cable colganteUn cable de 16 metros de longitud cuelga entre dos columnas de 15 metros de altura cada una. Los extremos del cable están clavados en lo alto de cada columna. En su punto más bajo el cable está 7 metros sobre el suelo. ¿Cuál es la distancia entre las columnas? Como se trata de una situación simétrica, el punto más bajo del cable está a la mitad de su distancia, es decir a 8 metros de su extremo. A 7 metros del suelo el cable está a 8 metros de lo alto de la columna. Sólo si el cable cae vertical 8 metros de cable bajan 8 metros, así que las columnas están juntas, la distancia entre ellas es cero.
Café con moscaPepe protesta al camarero porque hay una mosca en su café. El camarero se lo lleva y promete traer un café nuevo, lo que hace al cabo de un rato. Pepe lo prueba y protesta porque es el mismo café sin la mosca. ¿Cómo lo sabía? Porque ya había echado azúcar al primer café y este no debería tener azúcar si fuera realmente un café distinto.
Camión y túnel¿Cómo conseguir que un camión pase por un túnel cuya altura es un par de centímetros más pequeña que la del camión? Desinflando los neumáticos.
Campanadas en la nocheEn el pueblo de Pepe el reloj municipal suena a la hora en punto con tantas campanadas como la hora que es, y a las medias horas con una campanada. Ayer Pepe despertó en medio de la noche y oyó una campanada; media hora más tarde sonó otra campanada, pero Pepe aún no sabía qué hora era; media hora más tarde sonó otra campanada y Pepe ya supo qué hora era. Hay dos intervalos con dos campanadas individuales seguidas: de las doce y media a la una, y de la una a la una y media. Sólo hay un intervalo con tres campanadas individuales seguidas: de las doce y media a la una y media.
Princesas y camellosDos nobles aspiran a casarse con la hija del jeque. Como al jeque no le gusta ninguno de los dos aspirantes, se le ocurre un plan: ambos participarán en una carrera, y aquel cuyo camello llegue el último tendrá la mano de su hija. Los dos nobles piensan que con esas reglas la carrera se eternizará, y no sabiendo qué hacer deciden consultar a un sabio que les da la solución. Usad cada uno el camello del otro.
El premio en las cajasParticipas en un concurso televisivo. El presentador te muestra tres cajas (o puertas): dentro de una de ellas hay un premio y las otras dos están vacías. Escoges una de las cajas (por ejemplo la A), pero antes de abrirla el presentador (quien sabe lo que hay en cada caja) toma una caja (la C), te muestra que está vacía y te ofrece cambiar tu elección por la otra caja (la B). ¿Qué debes hacer? Este problema es un clásico de las matemáticas recreativas que causa grandes quebraderos de cabeza a personas con una comprensión defectuosa de combinatoria y probabilidades. Su análisis es además problemático porque no se especifica si el presentador está obligado a abrir una caja vacía después de tu elección en cualquier caso o si puede decidir hacerlo o no según lo que hayas escogido para ponerte más difícil tu elección y dar más emoción al programa (y no está claro si el presentador no quiere que te lleves el premio para ahorrar costes al programa o si quiere que te lo lleves por la popularidad y la audiencia del programa). De este caso individual no se puede inferir la regla general. Suponiendo que el presentador debe abrir una caja vacía después de tu elección, la mejor estrategia es cambiar la elección. En 2/3 de los casos tu elección inicial era errónea: habías escogido una caja vacía; el presentador abre la otra caja vacía, luego la única que queda tiene premio seguro. En 1/3 de los casos tu elección inicial era buena: habías escogido la caja con el premio; el presentador abre una de las dos cajas vacías, y si cambias te llevas la otra caja vacía. La probabilidad de éxito al cambiar la elección es 2/3, la probabilidad de éxito al mantener la elección es 1/3. Para facilitar la comprensión se puede suponer que en vez de 3 cajas hay inicialmente muchas más, por ejemplo 100. Escoges una, y el presentador abre 98 cajas vacías y te ofrece cambiar de elección. Tu elección previa era acertada con probabilidad 1/100, y fallida con probabilidad 99/100, así que está claro que es mejor cambiar de elección. Si el presentador no está obligado a abrir una caja tras tu elección inicial sino que puede hacerlo o no a su discreción, entonces el problema consiste en intentar inferir sus intenciones respecto a la entrega del premio y a conseguir emoción.
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