Inteligencia y Libertad

Un concepto es una construcción mental, una representación formal abstracta que absorbe, recoge, contiene, aprehende, la esencia universal, lo común, de instancias o entidades particulares, materiales, concretas, abarcadas por el mismo. El concepto integra, clasifica, agrupa en una clase, tipo, conjunto o categoría, cosas específicas, elementos individuales, primitivos, con características distintivas compartidas, captando su semejanza. Es un concentrado intelectual, una condensación cognitiva, una formulación mental, un patrón de regularidad de objetos más básicos. Es un modelo ideal derivado, simplificado, que no representa todo el detalle, sino que filtra información, resume, prescinde de lo accidental, de lo superfluo. Es una síntesis, una compilación, que se eleva sobre lo contingente, destilando, sublimando el núcleo necesario de las cosas. Un concepto define un conjunto formado por las entidades agrupadas por el mismo.

La idea de concepto implica abstracción y generalización. La abstracción es una operación mental que separa características relevantes. Abstraer es atender a ciertos atributos, considerar unos aspectos de una entidad compleja, tener en cuenta unas propiedades e ignorar otras, omitiendo detalles particulares, concentrando la atención. La abstracción enfoca la inteligencia de forma selectiva y produce ideas o nociones disociadas de los objetos concretos. Generalizar es aplicar el concepto a más elementos, agrupar más instancias específicas que cumplan unas normas comunes. El concepto está a un nivel de abstracción y generalización más alto, mientras que los entes representados son más concretos, más específicos.

La idea de concepto, con la abstracción y la generalización, es esencialmente recursiva: los elementos agrupados pueden a su vez ser clases de objetos, tener características conceptuales, y así sucesivamente; se pueden establecer, al menos parcialmente, jerarquías conceptuales. En toda recursividad debe haber una condición de terminación: en un extremo se encuentran las entidades más concretas y específicas, los objetos físicos materiales, reales, particulares, individuales, irrepetibles, con sus características espacio temporales detalladas; a partir de ellos se construyen agrupaciones y gradualmente se asciende hacia entidades cada vez más ideales. Abstracto y concreto, general y específico, universal y particular, ideal y real, formal y material, mental y físico, son así cualidades polares progresivas, relativas, de variación gradual.

La naturaleza de cada concepto puede construirse por comprensión o extensión. Mediante la comprensión se construye de arriba hacia abajo (combinando entidades abstractas, realizando operaciones con conjuntos), mediante la extensión se construye de abajo hacia arriba (combinando entidades concretas, realizando operaciones con elementos). En algunos casos sólo es posible la construcción por extensión y no por comprensión.

Según su comprensión, el concepto es una integración de aspectos inteligibles esenciales llamados notas, atributos, propiedades, dimensiones. El conjunto de las notas, de las propiedades esenciales, es la comprensión del concepto. Estas propiedades son normas operacionales, reglas de decisión que debe cumplir una entidad para estar representada por el concepto, para pertenecer a él. Hay notas esenciales, necesarias, que definen de forma unívoca el concepto y sus contenidos, y otras pueden ser propiedades accidentales, contingentes o consecuencias de la esencia. Un concepto es más abstracto (menor comprensión) si tiene menos propiedades esenciales, y más concreto (mayor comprensión) si tiene más propiedades esenciales.

La extensión de un concepto es la enumeración exhaustiva, de forma individual o mediante una regla de generación, de los entes a los que se aplica, que son representados por el mismo. Los conceptos más generales son los que tienen mayor extensión, y los más particulares los que tienen menor extensión. Los elementos representados por un concepto pueden ser básicos, primitivos, irreducibles, o a su vez tener naturaleza conceptual, siendo resultado de agrupar otros elementos más básicos. Cuando se cumple la relación de inclusión, los conceptos pueden jerarquizarse según su extensión.

Se da una razón inversa entre comprensión y extensión: a mayor extensión, menor comprensión, y viceversa. El concepto singular, que se refiere a un solo objeto, de extensión mínima, tiene comprensión máxima (el individuo es inefable, no cabe realizar un análisis exhaustivo de sus notas inteligibles). El concepto universal, la idea metafísica de esencia, que se refiere a todas las entidades posibles, tiene extensión máxima y comprensión mínima. Entre abstracción y generalización la razón es directa, aumentando o decreciendo simultáneamente.

Los conceptos pueden ser compuestos, derivados, si están definidos en función de elementos más básicos; algunos conceptos son completamente primitivos, categorías irreducibles, propiedades y valores que sirven como punto de partida en la construcción de otros conceptos; los conceptos primitivos son categorías a priori, sólo pueden ser intuidos directamente, no son inteligibles a partir de otros.

La realidad a la que se refieren los conceptos incluye no sólo la naturaleza material externa a la mente, sino también los procesos mentales y sus características. De este modo algunos conceptos de alto nivel se refieren a entidades mentales, originando bucles reflexivos. El ser humano no comienza su actividad intelectual en los extremos de la estructura conceptual (abstracciones formales o concreciones materiales), sino en lugares intermedios que se corresponden con su experiencia cotidiana, y a partir de allí avanza en ambas direcciones.

Los conceptos se forman gradualmente, de forma evolutiva, como resultado de la permanente interacción de los seres cognitivos desarrollados en un entorno más o menos común y regular. El concepto es el resultado de la capacidad intelectual de formación y reconocimiento de patrones, y surge como noción mental inducida, inferida, derivada de forma natural a partir de casos concretos repetidos regularmente. En la medida en que la realidad ambiental, el entorno de desarrollo, es único, objetivo y común, y que los seres cognitivos comparten íntimamente los procesos de formación de patrones, los conceptos tienden a tener carácter universal.

El concepto es una construcción mental, una idea abstracta que agrupa cosas, que unifica una multiplicidad de individuos por relaciones de semejanza, y se etiqueta con un término. Los conceptos no son meros nombres ni entidades reales externas a la mente. El concepto se representa simbólicamente, se expresa lingüísticamente, por el término, por la palabra, que es su etiqueta o identificador. El significado del término es el concepto; el significado o referente del concepto es el grupo de entidades, los objetos que representa. Entre los objetos y el concepto (entre cosas e ideas) parece haber una relación natural (aspectos comunes de la realidad y del pensamiento humano), mientras que entre el concepto y el término (entre ideas y palabras) hay una convención histórica del lenguaje. Varios términos son sinónimos si se refieren al mismo concepto. Un mismo término puede referirse a varios conceptos de forma equívoca (polisemia). Un término unívoco es aplicable a un solo concepto.

Los conceptos no son verdaderos o falsos, sino útiles, adecuados, o no, para reconocer, distinguir y agrupar entidades (el concepto proporciona reglas de decisión para determinar pertenencia a una clase, en lugar de utilizar listas de extensión), para producir y comprender proposiciones, y para desarrollar construcciones teóricas. Cada concepto es un resumen útil para lo usual pero que puede fallar en los casos extremos. El uso adecuado de los conceptos requiere a la vez precisión y flexibilidad, formalidad y creatividad. Las cosas del mundo son identificables, distinguibles, en grado aproximado suficiente para no causar problemas utilizando recursos de forma eficiente. Los casos dudosos, conflictivos, requieren más esfuerzo, mayor atención.

Dos conceptos son compatibles si pueden combinarse para formar un concepto complejo, verificándose ambos en algún individuo (su intersección no es vacía). Dos conceptos incompatibles pueden ser contradictorios (el concepto y su negación, sin término medio) o contrarios (dos conceptos máximamente distantes bajo el mismo género). Una partición es una clasificación en conjuntos mutuamente incompatibles (mutuamente excluyentes, sin intersección) y cuya unión es el conjunto universal (es completa, exhaustiva, considera todas las partes). Una taxonomía es una partición recursiva que agrupa entidades a distintos niveles de una estructura jerárquica.

Una definición es la expresión de las cualidades esenciales de una entidad, la explicación del significado de un término, la identificación de la naturaleza de las unidades incluidas en un concepto. Definir es poner límites, acotar, dividir, clasificar, separar del resto, señalar la naturaleza esencial (propiedades, comprensión) de los elementos que son instancias de un concepto (extensión). Una definición completa incluye todos los elementos adecuados (instancias positivas) y no incluye ningún elemento no adecuado (instancias negativas). Lo complejo se define en función de lo simple, y no es posible definirlo todo: hay objetos simples, básicos, primitivos. Una definición ostensiva es la explicación del significado de una expresión a través de la demostración directa (señalando).

Proposición

El concepto, noción o idea, es la unidad o elemento básico de los procesos de pensamiento consciente, el contenido atómico primitivo de la cognición simbólica. El pensamiento los relaciona en proposiciones para describir la realidad. El concepto analiza, el juicio sintetiza. En el juicio o proposición se recompone, se reconstruye lo separado por la abstracción. La proposición manifiesta relaciones entre conceptos, los articula y estructura, atribuyendo a los individuos predicados abstraídos.

Algunas proposiciones o juicios simples relacionan mentalmente dos conceptos, un sujeto y un predicado, los unen (afirmación) o los separan (negación) mediante una cópula categórica (ser o no ser). El concepto como sujeto de una proposición tiene extensión singular (uno), universal (todos, ninguno) o particular (alguno). Los conceptos universales pueden predicarse de sus inferiores, los sujetos incluidos en su ámbito de extensión. Una proposición compuesta relaciona dos o más proposiciones simples. La relación puede ser conjuntiva (y), disyuntiva (o), o hipotética (condicional si – entonces). La proposición condicional sólo afirma la conexión o enlace entre la condición antecedente (si) y el condicionado consecuente (entonces), no dice nada sobre cada proposición por separado. Una proposición no hipotética es una proposición categórica. La proposición categórica simple consta de dos elementos materiales o términos (sujeto y predicado, los dos conceptos relacionados), y de un elemento formal (cópula es o no es). El predicado es un concepto universal, el sujeto puede ser universal, particular, o singular. En ciertos casos algún elemento puede estar implícito.

Las proposiciones categóricas simples pueden clasificarse según su cualidad y cantidad. Por su cualidad, una proposición puede ser afirmativa o negativa. En una proposición afirmativa el predicado se toma en toda su comprensión, pero no en toda su extensión. En una proposición negativa el predicado se toma en toda su extensión, pero no en toda su comprensión. Por la cuantificación del sujeto, una proposición puede ser indefinida, singular (uno), particular (algún o algunos) y universal (todos). Los tipos principales de proposición son la universal afirmativa (UA, todo es, inclusión de un conjunto en otro conjunto), la universal negativa (UN, ninguno es, intersección nula de dos conjuntos), la particular afirmativa (PA, alguno es, pertenencia de un elemento a un conjunto, o intersección no nula de dos conjuntos), y la particular negativa (PN, alguno no es, no pertenencia de un elemento a un conjunto, o no inclusión de dos conjuntos).

Una proposición puede ser absoluta (simplemente afirma o niega el predicado del sujeto) o modal (expresa la manera en que el predicado conviene o no al sujeto). El modo afecta a la cópula, y hay cuatro modos lógicos: necesario, contingente, posible, imposible. Necesario es lo que no puede dejar de ser; contingente es lo que puede no ser; posible es lo que puede ser; imposible es lo que no puede ser. Según la mayor o menor fuerza lógica con que el predicado se une al sujeto, la proposición puede ser apodíctica (necesaria, absoluta), asertórica (sobre hechos concretos), o problemática (probable o indeterminada).

Algunas relaciones interesantes entre proposiciones son la oposición, la conversión, y la equivalencia. Dos proposiciones relacionadas por oposición se excluyen entre sí, no pueden ser simultáneamente verdaderas; deben constar de los mismos términos y estar construidas de tal modo que una niega lo que la otra afirma; hay varios modos de oposición (aunque sólo son propios la contradicción y la contrariedad): contradicción (simétrica), contrariedad (simétrica), subcontrariedad (simétrica), subalternación (antisimétrica).

Dos proposiciones son contradictorias si una niega exactamente lo que la otra afirma, sin exceso ni defecto. Dos proposiciones son contradictorias si tienen distinta cantidad y cualidad (con el mismo sujeto y predicado). UA y PN son contradictorias. UN y PA son contradictorias. Dos proposiciones contradictorias no pueden ser ambas verdaderas (principio de no contradicción), y no pueden ser ambas falsas (principio de exclusión del medio): por lo tanto, de la verdad de una se infiere la falsedad de la otra, y de la falsedad de una se infiere la verdad de la otra. La contradicción se da entre dos opciones mutuamente incompatibles que abarcan todo el espacio de elección.

Dos proposiciones son contrarias si una afirma y otra niega de manera total (de toda la extensión) el predicado del sujeto. Dos proposiciones contrarias tienen la misma cantidad universal y diferente cualidad (con el mismo sujeto y predicado). UA y UN son contrarias. Dos proposiciones contrarias no pueden ser ambas verdaderas, y pueden ser ambas falsas: por lo tanto de la verdad de una se infiere la falsedad de la otra, y de la falsedad de una no se infiere nada. La contrariedad se da entre dos o más opciones mutuamente incompatibles que pueden abarcar o no todo el espacio de elección.

Dos proposiciones son subcontrarias si una afirma y otra niega de manera parcial (de una parte de la extensión) el predicado del sujeto. Dos proposiciones subcontrarias tienen la misma cantidad particular y diferente cualidad (con el mismo sujeto y predicado). PA y PN son subcontrarias. Dos proposiciones subcontrarias pueden ser ambas verdaderas, y no pueden ser ambas falsas: por lo tanto de la verdad de una no se infiere nada, y de la falsedad de una se infiere la verdad de la otra.

Dos proposiciones son subalternas si tienen la misma cualidad y difieren sólo por su cantidad (con el mismo sujeto y predicado). UA y PA son subalternas (todo A es B implica que algún A es B). UN y PN son subalternas (ningún A es B implica que algún A no es B). Subalternante es la proposición universal, y subalternada la proposición particular. De la verdad de la subalternante se infiere la verdad de la subalternada. De la falsedad de la subalternante no se infiere nada. De la verdad de la subalternada no se infiere nada. De la falsedad de la subalternada se infiere la falsedad de la subalternante. Las proposiciones universales subalternantes son más informativas que sus proposiciones particulares subalternadas.

Una conversión es una transposición de los términos de una proposición que no altera su valor de verdad (pero no tiene que resultar una proposición equivalente). Una conversión es simple si no se altera la cantidad (UN, PA); debido a la conmutatividad de la intersección de conjuntos, en las proposiciones universal negativa y particular afirmativa sujeto y predicado son intercambiables. Una conversión es accidental si se cambia la cantidad (UN, UA). En una contraposición ambos términos transpuestos son negados sin alterar la cantidad (UA, PN). La regla fundamental de la conversión es que el predicado al convertirse en sujeto debe conservar la extensión.

Dos proposiciones son equivalentes si expresan la misma cosa. Las proposiciones contradictorias se hacen equivalentes anteponiendo la negación al sujeto de una de ellas. Las proposiciones contrarias se hacen equivalentes posponiendo la negación (o sea, cambiando la cualidad de la cópula) al sujeto de una de ellas. Las proposiciones subalternas se hacen equivalentes anteponiendo y posponiendo la negación al sujeto de una de ellas.

Las proposiciones copulativas se expresan en forma matemática y lógica mediante la teoría de conjuntos, con la relación de inclusión y la operación de intersección. Cada concepto es un conjunto no vacío. La proposición universal afirmativa (todo S es P) expresa que el conjunto sujeto S está incluido en el conjunto predicado P. La proposición universal negativa (ningún S es P) expresa que el conjunto sujeto S y el conjunto predicado P tienen como intersección el conjunto vacío. La proposición particular afirmativa (algún S es P) expresa que el conjunto sujeto S y el conjunto predicado P tienen como intersección un conjunto no vacío. La proposición particular negativa (algún S no es P) expresa que el conjunto sujeto no está incluido en el conjunto predicado. Son posibles proposiciones individuales que expresan que un elemento pertenece o no pertenece a un conjunto. Las proposiciones compuestas se expresan con las operaciones lógicas conjunción (y), disyunción (o), e implicación o hipótesis (si antecedente, entonces consecuente).

Silogismo

Un silogismo es un razonamiento que consta de tres proposiciones: dos premisas y una conclusión que se deduce necesariamente de las otras dos. La conclusión puede inferirse lógicamente de forma deductiva de las premisas. La conclusión está contenida en las premisas de forma implícita, y al razonar es explicitada de forma más o menos obvia. Igual que las proposiciones, los silogismos pueden expresarse en forma matemática y lógica mediante la teoría de conjuntos, con la relación de inclusión de conjuntos, la operación de intersección de conjuntos y la relación de pertenencia entre elementos y conjuntos. El silogismo puede explicarse según comprensión o extensión.

El silogismo categórico es un razonamiento lógico en el cual en tres proposiciones o juicios (premisa mayor, premisa menor y conclusión) se relacionan tres términos (extremo menor, extremo mayor y término medio). En la premisa mayor se afirma o niega la relación entre el extremo mayor y el término medio. En la premisa menor se afirma o niega la relación entre el extremo menor y el término medio. Se infiere una conclusión que afirma o niega la relación entre el extremo menor (sujeto) y el extremo mayor (predicado).

El silogismo indica qué es posible deducir a partir de dos relaciones (de inclusión o intersección) entre tres conjuntos, o a partir de dos relaciones entre un elemento y dos conjuntos (pertenencia, inclusión o intersección). Su estudio y comprensión es más fácil con la ayuda de gráficos.

El principio de identidad o no contradicción se basa en la reflexividad de la relación de igualdad o equivalencia. La transitividad indica que dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí, y que dos cosas, de las cuales una es igual a una tercera y otra desigual a la misma, son desiguales entre sí. La relación de lo universal con sus partes indica que lo que se afirma (niega) de lo universal, se afirma (niega) de la parte. Lo que se afirma o niega de todos los elementos de un conjunto, se afirma o niega de cada uno de ellos.

El silogismo tiene diversas reglas. Los extremos no pueden tener en la conclusión mayor extensión que en las premisas (la mayor extensión en la conclusión no ha sido comparada en las premisas): si A es B, y A es C, es erróneo inferir que B es C. El término medio debe tomarse por lo menos una vez en toda su extensión (universal); si se toma dos veces en extensión particular, cabe que un extremo se compare con una parte de los individuos, y el otro extremo con otra parte distinta: si A es B, y C es B, es erróneo inferir que A es C. De dos premisas afirmativas no puede inferirse conclusión negativa. De dos premisas negativas no puede inferirse ninguna conclusión. De dos premisas particulares no puede inferirse ninguna conclusión. La conclusión sigue siempre la premisa más débil; la negativa es más débil que la afirmativa, y la particular es más débil que la universal. Si un término es universal en la conclusión, debe ser universal en la premisa. Si una premisa es negativa, la conclusión es negativa. Si la conclusión es positiva, ninguna premisa puede ser negativa. Si la conclusión es negativa, una y sólo una de las premisas debe ser negativa. Si una premisa es particular, la conclusión es particular.

Los silogismos tienen distintas figuras según la disposición resultante del lugar que el término medio ocupa en las premisas, y distintos modos según la disposición resultante de la cualidad y cantidad de las premisas (dos premisas de cuatro tipos distintos, UA, UN, PA, PN o A, E, I, O). Como hay cuatro figuras y dieciséis modos por figura, en total son 64 tipos de silogismo, pero sólo 19 cumplen las reglas del silogismo (sólo en esos casos la deducción es correcta).

En la primera figura, la premisa menor debe ser afirmativa y la premisa mayor debe ser universal. En la segunda figura, una premisa debe ser negativa y la otra positiva, y la premisa mayor debe ser universal. En la tercera figura, al menos una premisa debe ser afirmativa y la conclusión debe ser particular.

En la primera figura, el sujeto de la conclusión es el sujeto de la premisa menor, y el predicado de la conclusión es el predicado de la premisa menor; el término medio es sujeto de la premisa mayor y predicado de la premisa menor. M - P, S - M, S - P.

En la segunda figura, el sujeto de la conclusión es el sujeto de la premisa menor, y el predicado de la conclusión es el sujeto de la premisa mayor; el término medio es predicado de la premisa mayor y predicado de la premisa menor. P - M, S - M, S - P.

En la tercera figura, el sujeto de la conclusión es el predicado de la premisa menor, y el predicado de la conclusión es el predicado de la premisa mayor; el término medio es sujeto de la premisa mayor y sujeto de la premisa menor. M - P, M - S, S - P.

En la cuarta figura, el sujeto de la conclusión es el predicado de la premisa menor, y el predicado de la conclusión es el sujeto de la premisa mayor. El término medio es el predicado de la premisa mayor y el sujeto de la premisa menor. P - M, M - S, S - P.

Primera figura:
Si todo M es P, y todo S es M, entonces todo S es P (AAA).
Si ningún M es P, y todo S es M, entonces ningún S es P (EAE). E1.
Si todo M es P, y algún S es M, entonces algún S es P (AII). E2.
Si ningún M es P, y algún S es M, entonces algún S no es P (EIO). E3.

Segunda figura:
Si ningún P es M, y todo S es M, entonces ningún S es P (EAE). E1.
Si todo P es M, y ningún S es M, entonces ningún S es P (AEE). E1.
Si ningún P es M, y algún S es M, entonces algún S no es P (EIO). E3.
Si todo P es M, y algún S no es M, entonces algún S no es P (AOO).

Tercera figura:
Si todo M es P, y todo M es S, entonces algún S es P (AAI).
Si ningún M es P, y todo M es S, entonces algún S no es P (EAO). E4.
Si algún M es P, y todo M es S, entonces algún S es P (IAI). E2.
Si todo M es P, y algún M es S, entonces algún S es P (AII). E2.
Si algún M no es P, y todo M es S, entonces algún S no es P (OAO).
Si ningún M es P, y algún M es S, entonces algún S no es P (EIO). E3.

Cuarta figura:
Si todo P es M, y todo M es S, entonces algún S es P (AAI).
Si todo P es M, y ningún M es S, entonces ningún S es P (AEE). E1.
Si todo P es M, y algún M es S, entonces algún S es P (IAI). E2.
Si ningún P es M, y todo M es S, entonces algún S no es P (EAO). E4.
Si ningún P es M, y algún M es S, entonces algún S no es P (EIO). E3.

Debido a la conmutatividad de la intersección, algún A es B es equivalente a algún B es A, y ningún A es B es equivalente a ningún B es A. Por el mismo motivo, si la conclusión es universal negativa o particular afirmativa (una intersección vacía o no), los términos mayor y menor son intercambiables en las premisas mayor y menor. Por lo tanto de los 19 silogismos posibles algunos son equivalentes, y quedan 9 silogismos independientes:

El silogismo compuesto es aquel cuya proposición mayor es una proposición compuesta y cuya proposición menor es una proposición categórica que afirma o niega uno de sus miembros. Según las tres clases de proposición compuesta, hay tres clases de silogismo compuesto: condicional o hipotético, disyuntivo, conjuntivo. En el silogismo condicional o hipotético, la premisa mayor afirma el nexo de implicación entre la condición o antecedente y el condicionado o consecuente (si condición o antecedente, entonces resultado o consecuente). La premisa menor afirma el antecedente o niega o el consecuente. El antecedente sólo expresa una condición (no expresa todas las condiciones que pueden originar el consecuente) suficiente (no necesaria) del consecuente. Afirmado el antecedente en la menor, se concluye la afirmación del consecuente en la conclusión. Negado el consecuente en la menor, se concluye la negación del antecedente en la conclusión.

Los silogismos pueden encadenarse de modo que la conclusión de uno sirva de premisa en el siguiente. Las proposiciones individuales también pueden enlazarse de forma adecuada.

Lógica

La lógica es la ciencia de las leyes abstractas y generales que regulan la actividad racional de la mente. La lógica estudia las condiciones formales básicas que el pensamiento humano inteligente debe cumplir para obtener conocimiento correcto y verdadero, las normas o reglas que gobiernan el uso adecuado de la razón, los patrones de los procesos cognitivos que constituyen argumentaciones válidas y justificaciones legítimas. La lógica estudia las inferencias válidas y las proposiciones que son necesariamente verdaderas o tautologías. Es el estudio de las condiciones o propiedades que hacen que una proposición sea necesariamente verdadera, o que una inferencia deductiva sea necesariamente válida, una implicación en la cual la forma lógica de las premisas o antecedentes implica la conclusión o consecuente.

La lógica es universal e invariable, común a todos los seres humanos, independientemente de su clase, su género, su raza, o cualquier otra característica, y refleja la estructura abstracta inmutable de la mente humana y de los principios esenciales de la realidad. La lógica es básica, no puede ser fundamentada en nada más, abarca todo el conocimiento y constituye la base de la racionalidad científica. La retórica es la ciencia que estudia la persuasión, las técnicas para convencer a los seres humanos sin utilizar o incluso violando la lógica racional y el método científico. Los seres humanos no son perfectamente racionales: debido a influencias emocionales, prejuicios erróneos y errores de pensamiento, a menudo son persuadidos por argumentos incorrectos o con premisas falsas, y no aceptan argumentos correctos con premisas verdaderas.

La adecuación de un argumento o razonamiento puede ser estudiada de forma lógica (condiciones formales, lógica formal o simplemente lógica, corrección, validez) y de forma científica (condiciones materiales, lógica material o ciencia, verdad). La valoración formal lógica estudia la corrección del razonamiento, la conexión adecuada entre las premisas y la conclusión. La valoración material científica estudia la verdad de las proposiciones (premisas y conclusión). Un razonamiento es legítimo si la inferencia es correcta y sus premisas son verdaderas, y entonces sus conclusiones son necesariamente verdaderas, están implicadas lógicamente por las premisas. Si el valor de verdad de las premisas es erróneo o la inferencia es incorrecta, nada puede inferirse sobre el valor de verdad de la conclusión.

El razonamiento tiene materiales, conceptos y proposiciones que se refieren al mundo, y formas o estructuras que los organizan. El razonamiento es materialmente verdadero o falso, y formalmente correcto o incorrecto, válido o inválido. La ciencia trata de la verdad, la lógica trata de la validez. La ciencia estudia el contenido de las proposiciones que representan el mundo. La corrección de un argumento no depende de los valores de verdad de sus premisas y su conclusión. La validez es una característica formal, de la estructura profunda del argumento. Un argumento es válido si cumple las leyes lógicas de la inferencia deductiva. La validez de un razonamiento determina, basándose en la forma lógica de las premisas, qué puede concluirse si las premisas son ciertas. Las distintas formas lógicas se relacionan con diferentes inferencias.

La lógica material o ciencia estudia las condiciones de los contenidos de las proposiciones, juicios, enunciados o aseveraciones, para ser verdaderos o falsos. La lógica material estudia el valor de verdad de las proposiciones, considerando su contenido semántico específico, su significado, y su correspondencia con el mundo real al que se refieren. La lógica material estudia la verdad material de facto, la cual depende de la configuración del mundo real. La validez lógica es estudiada por la lógica formal y es independiente de la verdad material de facto. La lógica formal estudia las condiciones o propiedades de las estructuras o formas de relacionar proposiciones para que las inferencias (adquisición de nuevo conocimiento a partir de conocimiento previamente disponible) sean correctas. La lógica formal considera sólo la forma, la estructura común de las inferencias lógicas, y no el contenido de las proposiciones. La lógica formal toma como dados los valores de verdad de las proposiciones básicas o premisas, e infiere el valor de verdad de otras proposiciones o conclusiones. La lógica formal es un sistema de razonamiento para mantener y transmitir la verdad y evitar el error, un sistema de transferencia de conocimiento. La verdad material de facto de las premisas no es un asunto de la lógica formal. Si las premisas son verdaderas y las inferencias son correctas, las conclusiones son verdaderas.

Si la forma de un argumento es correcta o válida (relación adecuada entre premisas y conclusión) y el contenido de las proposiciones utilizadas es verdadero, entonces la conclusión debe ser lógicamente aceptada como verdadera. Siempre es posible estudiar la forma de un argumento, su corrección, pero no siempre es posible comprobar la verdad de cada proposición. El razonamiento lógico deductivo indica las formas correctas de los argumentos. De un argumento inválido no puede inferirse nada, no indica que la conclusión sea necesariamente falsa o verdadera.

Sistemas formales

Un sistema es formal si sus elementos (vocabulario de símbolos, semántica, significados), relaciones y reglas de manipulación (sintaxis, gramática que determina las fórmulas bien formadas) y todo lo que pueda ser considerado parte del sistema, está explícita y claramente definido y representado, sin ambigüedades. Un sistema formal tiene unos axiomas y unas reglas de manipulación para producir teoremas. La validez en un sistema formal L puede establecerse de forma sintáctica, mediante axiomas y reglas del sistema, o de forma semántica, mediante interpretación. Un argumento formal es una secuencia de fórmulas bien formadas (proposiciones u oraciones gramaticales en un lenguaje formal), que son las premisas Ps y la conclusión C.

Un argumento (Ps, C) es sintácticamente válido en L si C es derivable de Ps y los axiomas de L, si los hay, mediante las reglas de inferencia de L. T es un teorema de L (válido sintácticamente en L) en el caso de que T se siga de los axiomas de L, si los hay, mediante las reglas de inferencia de L. (Ps, C) es semánticamente válido en L si C es verdadero para todas las interpretaciones en las que Ps son verdaderas. T es una verdad de L (válido semánticamente en L) si T es verdadero para todas las interpretaciones de L.

Los sistemas lógicos son un subconjunto de los sistemas formales. Un sistema formal es un sistema lógico si tiene una interpretación rigurosa, clara y precisa, que considera la validez de los argumentos y la verdad de las proposiciones independientemente de sus contenidos, considerando sólo su forma. Un sistema lógico es de aplicación general para todos los ámbitos. Un sistema lógico tiene vocabulario, semántica, sintaxis, axiomas y reglas de inferencia para producir teoremas de los axiomas. Otros sistemas formales interpretados tienen su propio contenido además de la lógica (aritmética, geometría, física, praxeología).

Existen distintos sistemas lógicos posibles, cada uno referido a diferentes ámbitos del razonamiento con sus elementos propios y limitaciones. La lógica en su forma antigua estudia los silogismos. La lógica clásica (elemental o estándar) incluye la lógica proposicional (cálculo proposicional) y la lógica de predicados (cálculo de predicados). Las lógicas modernas extendidas añaden algún vocabulario, sintaxis y axiomas; son la lógica modal (necesario, posible), la lógica temporal (la verdad de las proposiciones puede variar con el tiempo), la lógica deóntica (deber, poder), la lógica epistémica (conocer, creer), la lógica de preferencias, la lógica imperativa (comandos), y la lógica interrogativa (preguntas). Las lógicas divergentes son sistemas con el mismo vocabulario que la lógica básica, pero con axiomas y reglas de inferencia diferentes, normalmente más restringidos: son las lógicas multivaluadas (la mayoría incluidas en la lógica bivaluada, todos sus teoremas son teoremas de la lógica bivaluada, pero no a la inversa), las lógicas de intuición, las lógicas cuánticas y las lógicas libres (incluyen entidades ficticias). Las lógicas inductivas estudian la inferencia inductiva (generalizaciones probables). La lógica difusa estudia sistemas de valores continuos de verdad y permite el manejo de información incierta, incompleta e imprecisa. Las lógicas no monótonas permiten la revisión de las bases de hechos (y sus consecuencias).

Un sistema lógico formal puede presentarse de dos maneras, como un sistema axiomático o como un sistema de deducción natural. Un sistema axiomático incluye, además de al menos una regla de inferencia, un conjunto privilegiado de fórmulas bien formadas, los axiomas, cuya verdad es incuestionable en el sistema y que pueden usarse en cualquier lugar de un argumento. Un sistema de deducción natural se basa en reglas de inferencia, y en lugar de axiomas usa reglas de deducción (suponer una proposición y estudiar sus consecuencias lógicas), resaltando los aspectos de validez de los argumentos.

Dos formulaciones corresponden al mismo sistema formal en sentido estricto si tienen los mismos axiomas y/o reglas de inferencia (puede cambiar la notación y las funciones primitivas). Dos formulaciones corresponden al mismo sistema formal en sentido amplio si tienen los mismos teoremas e inferencias válidas. Todos los sistemas inconsistentes son el mismo sistema formal en sentido amplio, ya que de una contradicción se infiere cualquier cosa, y así en un sistema inconsistente todas las proposiciones son teoremas.

La metalógica estudia las propiedades formales de los sistemas lógicos, las pruebas o refutaciones de su consistencia, completitud y decidibilidad. La estrategia puede ser ambiciosa, intentando hallar un procedimiento de decisión que dada una proposición indique si es un teorema, o reservada, si dado un argumento de los axiomas a un teorema se comprueba que es válido porque las reglas de inferencia se han usado correctamente. Una paradoja es una contradicción aparente, o un argumento aparentemente plausible con una consecuencia que contradice una proposición que también parece plausible, o un par de argumentos plausibles con conclusiones contradictorias.

Una propiedad puede ser asistemática o sistemática. Una propiedad es asistemática si el conjunto de los objetos que la poseen (su extensión) sólo puede describirse por enumeración (mediante una lista), y no por comprensión (mediante una regla). Una propiedad es sistemática si el conjunto de los objetos que la poseen (su extensión) puede describirse por comprensión (mediante una regla), si su posesión por un objeto depende de que el objeto esté compuesto de modos específicos (reglas de construcción) a partir de otros objetos poseedores de propiedades específicas, en último término asistemáticas. Una propiedad es productiva si los hechos de los que depende que se aplique o no a algo hacen que la propiedad la tengan necesariamente un número infinito de objetos. Toda propiedad productiva es sistemática, pero no toda propiedad sistemática es productiva.

Lenguaje natural y lógica simbólica

La lógica simbólica representa formalmente argumentaciones informales del lenguaje natural. La lógica simbólica es rigurosa, precisa, clara y eficiente, pero en ocasiones no puede incluir todo el detalle del lenguaje natural. La relación entre los argumentos informales (lenguaje natural) y los argumentos formales (lógica simbólica) no es uno a uno. La representación formal óptima es aquella que revela la mínima estructura coherente necesaria para resolver la validez de un argumento. Para resolver problemas lógicos expresados en lenguaje natural, cada proposición básica debe ser representada por una variable.

La lógica simbólica utiliza signos o símbolos bien definidos para representar todos sus elementos, relaciones, patrones y modelos: valores de verdad (verdadero o falso), proposiciones y conectivas, objetos y predicados, constantes y variables, cuantificadores, cualificadores y operadores modales. Los símbolos cuyo significado es fijo, permanente, son constantes. Los símbolos cuyo significado no es fijo son variables. Las relaciones lógicas formales se expresan mediante constantes lógicas, las conectivas o funciones booleanas, los cuantificadores, los cualificadores y los operadores modales. Los valores de verdad son las constantes (verdadero, falso). En general, las variables expresan el contenido y las constantes expresan la forma, pero la distinción estricta entre contenido y forma no siempre es posible. Las proposiciones pueden contener operadores de comparación (más, menos, igual, mayor o igual, menor o igual, no igual) y todo tipo de operaciones aritméticas y funciones con variables y valores exactos, precisos, datos numéricos o simbólicos.

Para usar la lógica adecuadamente es necesario comprender sus relaciones con el lenguaje natural. Las formas y los significados lógicos están relacionados con estructuras gramaticales profundas y significados abstractos. No todas las oraciones del lenguaje natural pueden ser representadas por la lógica simbólica. Sólo las oraciones que son enunciados declarativos (tienen un valor de verdad) son representables utilizando proposiciones y predicados. Los enunciados declarativos del lenguaje natural tienen un sujeto y un predicado (verbo y complementos).

Una oración es una secuencia de palabras expresadas como sonidos o signos. Una proposición es una idea, un contenido mental, el significado de la oración, lo que la oración dice acerca del mundo. No hay una correspondencia biunívoca simple entre oraciones aseverativas del lenguaje y proposiciones lógicas. La misma oración puede expresar proposiciones diferentes en distintos contextos o situaciones, y una misma proposición puede representar diversas oraciones: la lógica simbólica expresa la estructura lógica de las proposiciones, y los lenguajes naturales ofrecen múltiples maneras de expresar la misma idea. Las relaciones de construcción e interpretación entre oraciones y proposiciones son complejas, puede haber problemas de ambigüedad debido a la informalidad del lenguaje natural. Una proposición es vaga si su significado no está claramente especificado. Una proposición es ambigua si presenta dos o más significados específicos posibles, no determinados.

Verdad y funciones de verdad

La teoría de conjuntos permite relacionar formalmente los conceptos de mundos posibles y conjunto de verdad de una proposición. Un mundo posible (situación, caso o circunstancia) está determinado, caracterizado, descrito, por el conjunto de proposiciones que son verdaderas en él. El conjunto de verdad de una proposición T(p) es el conjunto de mundos posibles en los cuales la proposición es verdadera. Una proposición puede ser determinada por su función característica F(p,W), que asigna a cada mundo posible el valor de verdad correspondiente (verdadero o falso) dependiendo de que la proposición se cumpla o no en dicho mundo. El significado de una proposición lógica está dado por las condiciones que el mundo tiene que cumplir para que la proposición sea verdadera.

La verdad de una proposición puede ser analítica o sintética. La verdad lógica es formal y es un subconjunto de la verdad analítica. La verdad analítica surge al añadir definiciones a la forma lógica, depende de relaciones semánticas (significados, definiciones) que no forman parte del vocabulario básico de la lógica. La verdad analítica incluye conocimiento acerca de convenciones del lenguaje. Si se asume que las convenciones del lenguaje son universales y constantes, el valor de verdad de las proposiciones analíticas es independiente de cómo es el mundo. Una proposición analíticamente verdadera es verdadera en todos los mundos posibles. Una proposición analíticamente falsa es falsa en todos los mundos posibles. Una proposición no analítica es una proposición sintética, y su verdad o falsedad depende de la configuración del mundo: son verdaderas en unos mundos posibles y falsas en otros, incluso con definiciones constantes.

La lógica trabaja con funciones definidas sobre valores de verdad, cuyo rango es el conjunto booleano {verdadero, falso}, y cuyo valor depende exclusivamente de los valores de verdad de los argumentos. El conjunto booleano {verdadero, falso}, también puede representarse como {1, 0}, {sí, no}, {abierto, cerrado}. Toda proposición lógica tiene un único valor de verdad, verdadero o falso. Una conectiva lógica es veritativo funcional (función de verdad) si y sólo si tiene la propiedad de que el valor de verdad de las proposiciones compuestas usando la conectiva está determinado por los valores de verdad de las proposiciones básicas conectadas, y no por su contenido o por relaciones no lógicas.

Un conjunto de conectivas o funciones de verdad es adecuado si constituye una base completa del espacio de funciones lógicas, si sirve para expresar todas las funciones lógicas posibles. Un sistema formal es funcionalmente completo si tiene un conjunto adecuado de conectivas. Algunas conectivas utilizadas en el lenguaje natural (por lo tanto, porque, ya que, pues, puesto que, debido a, pero, no obstante, sin embargo, como, aunque, mientras que, hasta que) expresan conocimiento de facto sobre causalidades y tendencias complejas o relaciones temporales en el mundo real. Su significado, la conexión que expresan, es más que lógico, y no son veritativo funcionales. Deben cumplir la lógica, es necesario, pero no es suficiente.

Niveles de análisis lógico

La lógica simbólica es un lenguaje formal. Un lenguaje formal es un conjunto de expresiones posibles construidas utilizando un vocabulario de acuerdo con unas reglas sintácticas e interpretado mediante reglas semánticas. El vocabulario es la enumeración completa de los símbolos básicos. La sintaxis es un conjunto exhaustivo de reglas de formación que determinan las combinaciones permitidas de elementos más simples que producen expresiones bien formadas (reglas de estructura de enunciados en gramática generativa). La semántica es la interpretación de los signos simples y las expresiones sintácticamente correctas, la indicación de sus referencias y significados. El análisis lógico puede realizarse a diferentes niveles de detalle. Cada nivel tiene un vocabulario (los elementos atómicos), una sintaxis (las reglas para combinar los elementos simples y formar compuestos) y una semántica (el significado de los elementos).

La lógica proposicional es el análisis lógico más superficial, y estudia las relaciones lógicas entre enunciados o proposiciones simples y compuestas, sin considerar la estructura lógica interna de las proposiciones simples. Las proposiciones simples se toman como básicas (atómicas, primitivas), y las proposiciones compuestas (moleculares, derivadas) se construyen combinándolas mediante conectivas lógicas. Los objetos del lenguaje (vocabulario) de la lógica proposicional son proposiciones representadas simbólicamente, valores de verdad (verdadero, falso) y conectivas lógicas o funciones de verdad (no, y, o inclusivo, o exclusivo, no y, no o, implica, equivalencia).

La lógica de predicados es un análisis lógico más profundo, una extensión de la lógica proposicional que incluye todos sus elementos y además estudia la estructura interna de las proposiciones simples, cómo son formadas con elementos básicos como objetos, predicados y cuantificadores universal y existencial (" para todo, $ existe). La lógica modal es un análisis más profundo que incluye todos los elementos de la lógica de predicados y además estudia las ideas metafísicas de necesidad y posibilidad.

Lógica proposicional

La lógica proposicional es un sistema para razonar, manipular proposiciones lógicas y realizar cálculos con proposiciones. La lógica proposicional no estudia la estructura interna ni el contenido semántico de las proposiciones, sólo las relaciones lógicas entre ellas. Las proposiciones son representadas por variables simbólicas. Las relaciones lógicas entre proposiciones se expresan mediante conectivas lógicas que unen proposiciones básicas para formar proposiciones compuestas. Las conectivas lógicas son constantes cuyo significado y función está definido y fijo. La lógica proposicional no incluye el tiempo, es atemporal.

El vocabulario de la lógica proposicional incluye valores booleanos constantes {verdadero, falso} o {V, F}, variables booleanas que representan proposiciones {p, q, r ...}, funciones lógicas (conectivas u operadores) y paréntesis (si son necesarios para aclarar el orden de ejecución de las operaciones). La sintaxis de la lógica proposicional determina las reglas para la combinación correcta de los elementos de su vocabulario para producir proposiciones (fórmulas) bien formadas. Una proposición bien formada es una expresión formada según estas reglas:

Esta definición sintáctica de proposición es recursiva pero no circular, ya que hay condiciones claras de terminación. Ser una proposición bien formada es una propiedad sistemática y productiva (un conjunto finito de reglas sintácticas es capaz de producir un número infinito de proposiciones bien formadas). Las funciones lógicas pueden expresarse mediante distintos símbolos, y existen diversas notaciones que expresan la actuación del operador sobre las proposiciones (polaca, afija, operador con argumentos).

En una proposición compleja en la que aparezcan varias proposiciones y conectivas, es importante aclarar cómo están estructuradas. Las prioridades asignadas a los operadores son: ( ), NOT, AND, OR, Þ, Û. Las proposiciones se evalúan de izquierda a derecha.

Las funciones, conectivas u operaciones lógicas son funciones veritativas, cuyo dominio y rango son booleanos (el valor de los argumentos y de la función son booleanos). Como el dominio es finito, pueden tabularse los valores de las funciones lógicas para todos los estados posibles (combinaciones de valores) de las variables. Estas tablas de verdad sirven como reglas para evaluar los operadores actuando sobre las proposiciones. El estado de un conjunto de variables está determinado por los valores de las variables.

Una función booleana de n variables booleanas tiene 2ⁿ=m filas en su tabla de verdad (los posibles estados de sus variables). Existen 2^m funciones diferentes de n variables. Una base (completa y linealmente independiente) del espacio de todas las funciones lógicas booleanas de dos variables está formada por la negación de la conjunción NAND y la negación de la disyunción NOR.

La negación NOT (es falso que, no es el caso que, no es verdad que, no) no es una conectiva sino un cualificador, actúa sobre una única proposición para producir otra proposición compuesta cuyo valor de verdad sea el contrario. Si T(p) es el conjunto de verdad de p (conjunto de mundos en que p es verdadera), entonces el conjunto de verdad de NOTp es su complemento T(~p)=(T(p))'.

La conjunción AND (y) produce una proposición compuesta que es verdadera si y sólo si ambas proposiciones sobre las que actúa son verdaderas, y falsa en caso contrario. El conjunto de verdad de pANDq es la intersección de los conjuntos de verdad de p y de q, T(pANDq)=T(p)ÇT(q). La conjunción es conmutativa, pANDq es equivalente a qANDp, pANDq=qANDp.

La disyunción inclusiva OR (o, una de ambas o las dos) produce una proposición compuesta que es falsa si y sólo si ambas proposiciones son falsas, y si no es verdadera. La disyunción inclusiva expresa una elección abierta entre dos alternativas en la cual se puede escoger una u otra o las dos. El conjunto de verdad de pORq es la unión de los conjuntos de verdad de p y de q, T(pORq)=T(p)ÈT(q). La disyunción inclusiva es conmutativa, pORq es equivalente a qORp, pORq=qORp.

La disyunción exclusiva XOR (una o la otra pero no ambas) produce una proposición compuesta que es falsa si ambas proposiciones son falsas o si ambas proposiciones son verdaderas, y si no es verdadera. La disyunción exclusiva expresa una elección restringida entre dos alternativas en la cual se debe escoger una y sólo una de las dos. El conjunto de verdad de pXORq es la diferencia entre la unión y la intersección de los conjuntos de verdad de p y de q, T(pXORq)=T(p)ÈT(q)-T(p)ÇT(q). La disyunción exclusiva es conmutativa, pXORq es equivalente a qXORp, pXORq=qXORp.

La implicación (implicación o condicional material, si ... entonces ...) produce una proposición compuesta pÞq, donde p es el antecedente (si, condición) y q es el consecuente (entonces, condicionado); p es una condición suficiente para q, y q es una condición necesaria para p. SI p ENTONCES q es equivalente a SOLO SI q ENTONCES p. La lógica estudia la implicación como una función veritativa. Una implicación es verdadera cuando el antecedente es falso o el consecuente verdadero. Una implicación es falsa sólo si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. No es necesario que haya una relación no lógica entre antecedente y consecuente. La implicación no es conmutativa (pÞq no es equivalente a qÞp, sino su recíproca) y es una relación transitiva. La implicación es equivalente a la disyunción inclusiva entre la negación del antecedente y el consecuente pÞq = NOTpORq. La condicionalidad lógica no es lo mismo que la causalidad física; la causalidad es una relación entre causa y efecto que incluye el tiempo y no puede expresarse en lógica proposicional. Un enunciado contrafáctico es una implicación en la cual el antecedente es materialmente falso, y por lo tanto la implicación es verdadera independientemente del consecuente. El conjunto de verdad de pÞq es la diferencia entre el conjunto de verdad de q y el conjunto de verdad de p, T(pÞq)=T(q)-T(p). La implicación lógica es una inferencia que lleva de una proposición a otra menos informativa.

La consecuencia formal, el nexo lógico de implicación entre antecedente (si, porque, ya que, suponiendo que, dado que) y consecuente (entonces, por lo tanto, es así que, como resultado, se concluye que), depende de la estructura del raciocinio, de la disposición de conceptos y proposiciones. De la verdad del antecedente se infiere la verdad del consecuente. De la falsedad del consecuente se infiere la falsedad del antecedente. La relación de implicación no es simétrica. De la falsedad del antecedente no se infiere nada. De la verdad del consecuente no se infiere nada. Si p entonces q es equivalente a si no q entonces no p, y a p sólo si q.

La equivalencia de dos proposiciones significa que cualquiera de ellas implica la otra, pÛq = (pÞq)AND(qÞp), p es condición suficiente y necesaria para q, y q es condición suficiente y necesaria para p. Dos proposiciones son equivalentes si y sólo si tienen los mismos valores de verdad para cada estado, si tienen tablas de verdad idénticas. Si dos proposiciones son equivalentes, una puede sustituirse por la otra para simplificar. Simplificar significa modificar la forma de una proposición para que resulte más útil a un determinado propósito, normalmente con menos variables y/o operadores.

Las proposiciones pueden evaluarse (hallar su valor de verdad) utilizando las tablas de verdad de los operadores lógicos:

p	q	~p	pÙq	pÚq	pÞq	pÛq	pNANDq	pNORq	pXORq
V	V	F	V	V	V	V	F	F	F
V	F		F	V	F	F	V	F	V
F	V	V	F	V	V	F	V	F	V
F	F		F	F	V	V	V	V	F

Una tautología es una proposición que es verdadera en cualquier estado, en todos los mundos posibles, para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de sus proposiciones constituyentes. El conjunto de verdad de una tautología es el conjunto de todos los mundos posibles, el conjunto universal. Una tautología es una verdad necesaria. Las tautologías son un subconjunto de las verdades lógicas.

Una contradicción es una proposición que es falsa en cualquier estado, en todos los mundos posibles, para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de sus proposiciones constituyentes. El conjunto de verdad de una contradicción es el conjunto vacío. Las contradicciones no son aceptables. Una contradicción es una manifestación de un error lógico. Una contradicción invalida completamente un sistema lógico, ya que de una contradicción puede inferirse cualquier proposición.

La negación de una tautología es una contradicción. La negación de una contradicción es una tautología. Tautología y contradicción son contrarias, no contradictorias. Si una proposición es una tautología no puede ser una contradicción. Si una proposición es una contradicción no puede ser una tautología. Si una proposición no es una tautología puede ser o no ser una contradicción. Si una proposición no es una contradicción puede ser o no ser una tautología. La ley del medio excluido p OR NOTp es una tautología. Para cualquier proposición, o ella o su negación debe ser verdadera, no hay una tercera posibilidad intermedia en el cálculo proposicional. Algunos sistemas lógicos modernos (multivaluados, con más de dos valores de verdad posibles) no incluyen la ley del medio excluido. Es imposible que una proposición y su negación sean simultáneamente verdaderas (ley de la no contradicción): p AND NOTp es una contradicción.

Las tautologías y las contradicciones son especialmente interesantes en lógica, porque su valor de verdad está totalmente determinado por su forma lógica, por las propiedades veritativo funcionales de sus conectivas, y no está afectado por cambios en los estados del mundo. Las proposiciones sintéticas no son ni tautologías ni contradicciones, son proposiciones cuyo valor de verdad depende de los valores de verdad de sus proposiciones constituyentes, de cómo es el mundo.

La lógica estudia patrones o formas de razonamiento. El razonamiento con proposiciones significa desarrollar sistemáticamente nueva información a partir de otra dada. Una demostración o prueba es una metodología para decidir si una determinada conclusión es válida, una alternativa a la tabla de verdad mediante una secuencia de pasos para determinar si una proposición arbitraria es o no es una tautología. En una demostración el patrón de razonamiento consiste en el encadenamiento de una serie de pasos o inferencias, cada una de las cuales puede enlazarse con la siguiente de una manera justificable formalmente. El proceso de demostración incluye simplificaciones y realización de inferencias a partir de suposiciones aplicando reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten obtener unas proposiciones a partir de otras de las cuales se conoce si son verdaderas o se supone que lo son. Cada paso de una demostración es una inferencia que utiliza una proposición ya demostrada, una proposición obtenida de otra anterior utilizando una regla de inferencia, o una proposición que se introduce como suposición para preparar un paso posterior. Las suposiciones se indican entre corchetes; todos los demás pasos se acompañan de una justificación; el último paso de la demostración debe ser la proposición a demostrar.

En un sistema deductivo las inferencias se realizan mediante reglas preservadoras de la verdad que indican que, dada una proposición p, puede deducirse otra proposición q. Una proposición q es una consecuencia lógica de p si y sólo si no hay ninguna interpretación en la cual p sea verdadera y q falsa. Un sistema axiomático incluye dos tipos de proposiciones, axiomas y teoremas. Un axioma es una proposición cuya verdad se acepta sin prueba. Un teorema es una proposición deducida, demostrada de los axiomas mediante reglas de inferencia. Las inferencias deductivas utilizan implicaciones lógicas necesarias que son independientes de cómo es el mundo.

Las proposiciones que aparecen a la izquierda indican pasos anteriores (suposiciones entre corchetes, u otros) que ya aparecen en la demostración (premisas). Las proposiciones que aparecen a la derecha indican lo que puede obtenerse o ser inferido en el siguiente paso de la demostración (conclusión).

Mediante las reglas de inferencia deductivas es posible producir tautologías sin necesidad de premisas. Utilizando premisas, proposiciones de partida, es posible deducir otras proposiciones lógicamente relacionadas, sus conclusiones. Tomando una contradicción como premisa puede concluirse cualquier cosa qAND~q Þ p. Una contradicción implica cualquier proposición y produce un absurdo.

Distintas estrategias de demostración son posibles y útiles en diferentes situaciones, utilizando las reglas de inferencia y las propiedades de equivalencia. La demostración deductiva utiliza las reglas de inferencia para deducir las conclusiones, después de haber realizado una o más suposiciones para comenzar el proceso de demostración. La demostración por contradicción (reducción al absurdo) para demostrar una proposición supone su negación y comprueba si ello conduce a una contradicción. La demostración por encadenamiento hacia atrás explora todas las posibilidades de inferir la proposición a partir de otras proposiciones de forma recursiva hasta los axiomas.

Lógica de predicados

La lógica de predicados es una extensión de la lógica proposicional, un análisis lógico más profundo basado en la teoría de conjuntos. Además de incluir todos los elementos del vocabulario y la sintaxis de la lógica proposicional, estudia la estructura lógica interna de las proposiciones simples, cómo se forman con elementos básicos como objetos (individuos, elementos de conjuntos), predicados (propiedades de los individuos que definen clases, conjuntos de elementos) y los cuantificadores lógicos existencial y universal (" para todo, $ existe o hay al menos uno). La lógica de predicados determina la corrección de algunas inferencias lógicas no estudiadas por la lógica proposicional, como los silogismos clásicos. En la lógica de predicados de primer orden se cuantifican solamente los elementos individuales, no hay predicados variables; en la lógica de predicados de segundo orden se cuantifican también los conjuntos (las propiedades o predicados), hay variables de individuos y de predicados; la lógica proposicional es la lógica de predicados de orden cero, sin cuantificadores.

Una proposición básica está formada por un sujeto (sintagma nominal, un individuo o grupo de individuos sobre los cuales se dice algo), y un predicado (sintagma verbal, lo que se dice sobre el sujeto, la propiedad que es predicada del sujeto). Cada predicado unitario (con un solo argumento) define el conjunto de los elementos que tienen o cumplen esa propiedad. En la lógica de predicados los individuos y los predicados específicos están representados por constantes de individuo (en minúsculas) y por constantes de predicado (en mayúsculas). B(a) significa que el elemento a tiene la propiedad B, que el predicado B se cumple para a, que a pertenece al conjunto definido por la propiedad B. Los individuos y los predicados no específicos están representados por variables de individuo (en minúsculas) y por variables de predicado (en mayúsculas). φ(x) significa que el elemento x tiene la propiedad φ, que el predicado φ se cumple para x, que x pertenece al conjunto definido por la propiedad φ.

Como un elemento, x representa cualquier individuo u objeto en el dominio de interés, su rango como variable es el conjunto universal de elementos. Como una propiedad, φ representa cualquier predicado o propiedad en el dominio de interés, su rango como variable es el conjunto universal de propiedades. Las expresiones que contienen individuos o predicados variables no ligados (libres) son expresiones abiertas. Es posible combinar individuos variables con predicados constantes B(x), e individuos constantes con predicados variables φ(a) (ambas expresiones abiertas). Los individuos constantes y variables son términos de individuo. Los predicados constantes y variables son términos de predicado.

Los términos de individuo que siguen al predicado en una expresión, normalmente entre paréntesis, son los argumentos del predicado. Los predicados pueden tener múltiples argumentos que se refieren a distintos objetos. Un predicado con un argumento es unitario B(a); un predicado con dos argumentos es binario B(a₁,a₂); un predicado con n argumentos es n-ario B(a₁,a₂…,a_n).

Un cuantificador tiene un alcance, la parte de la proposición sobre la que actúa, a la que se refiere. Pueden utilizarse paréntesis para aclarar ambigüedades. La variable x puede tomar cualquier valor, pero ese valor debe mantenerse de forma consistente dentro de la proposición. Un cuantificador enlaza, acota o liga las apariciones de la variable en la proposición. Dentro del alcance de un cuantificador, cada variable representa un individuo único. Las variables ligadas son ligadas por un cuantificador. Una variable libre es una variable no ligada. Las expresiones con variables libres (al menos una variable que no se refiere a un individuo o predicado específico) son expresiones abiertas (como B(x)), y no son proposiciones, no son verdaderas o falsas.

Para construir una proposición a partir de una expresión abierta puede asignarse un valor constante a su variable libre. Una expresión abierta es una función enunciativa, que toma individuos como argumentos y devuelve el valor de verdad de la proposición construida al asignar un valor constante a la variable libre. Otra manera de construir una proposición a partir de una expresión abierta como B(x) es cuantificar la expresión, poner un cuantificador seguido de la variable libre al comienzo de la expresión abierta, para resultar "xB(x), o $xB(x). Son las expresiones abiertas bien formadas las que pueden ser cuantificadas para producir proposiciones, no tiene sentido cuantificar proposiciones.

El cuantificador universal "xB(x) significa que para todos los elementos x en el universo de interés, x tiene la propiedad B, x pertenece a B, x es un B, y B es el conjunto universal, B=U. La proposición "x(B(x)ÞC(x)) significa que para todo x, si x es un B, entonces x es un C, todo B es C, el conjunto B está incluido en el conjunto C, BÍC. La particularización de lo universal significa que si algo es cierto para todos los elementos de un conjunto, entonces es cierto para un elemento cualquiera del conjunto "xB(x) | B(a). El cuantificador universal es análogo a la conjunción: "xF(x) = F(a)ÙF(b)ÙF(c)Ù...

El cuantificador existencial $xB(x) significa que existe al menos un elemento x en el universo de interés que tiene la propiedad B, que B no es el conjunto vacío, B¹Æ. La proposición $x(B(x)ÙC(x)) significa que hay al menos un elemento x que tiene ambas propiedades B y C, que algunos B son C, que la intersección de B y C no es nula, no es el conjunto vacío BÇC¹Æ. La generalización existencial indica que si una propiedad se cumple para un elemento cualquiera, entonces existe un elemento que cumple esa propiedad B(a) | $xB(x). El cuantificador existencial es análogo a la disyunción: $xF(x) = F(a)ÚF(b)ÚF(c)Ú...

Las proposiciones lógicas pueden contener cualquier número de cuantificadores, cuyo orden de aparición no es arbitrario ya que indica sus respectivos alcances. Cuando hay varios cuantificadores en una proposición su orden normalmente coincide con el orden en el que aparecen sus correspondientes expresiones lingüísticas en la oración en lenguaje natural.

Es muy importante determinar el alcance de la negación en relación con los cuantificadores.

En la lógica de predicados no existen tablas de verdad para determinar la verdad de las proposiciones, deben utilizarse interpretaciones (relaciones con el mundo real) para comprobarlas.

Un silogismo es una combinación adecuada de dos predicados lógicos (premisas), de los cuales puede inferirse deductivamente otro predicado (conclusión). Los silogismos son razonamientos correctos por su estructura, independientemente de la configuración de los mundos posibles. No existe ningún mundo en el cual las premisas sean correctas y la conclusión sea falsa. Los silogismos pueden expresarse mediante lógica de predicados y mediante teoría de conjuntos.

La proposición particular afirmativa es $x(B(x)ÙC(x)), BÇC¹Æ. Algún B es C.

Pueden construirse proposiciones más generales utilizando constantes y variables aritméticas (números naturales, enteros, reales, complejos), booleanas (V, F) y estructuradas (conjuntos, formaciones, registros), operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división), funciones, operadores de comparación (<, >, =, £, ³, ¹), operaciones sobre datos estructurados, operadores lógicos (Ø, Ù, Ú, Þ, Û, ", $), que se evalúen a verdadero o falso para cada estado de sus variables. Si el valor computado es verdadero, la proposición se satisface en ese estado. Un predicado satisfacible tiene estados para los cuales puede ser satisfecho. Un predicado válido o tautología es satisfecho en todos los estados.

Lógica modal

La lógica proposicional y la lógica de predicados tratan un mundo cada vez. La lógica modal estudia las relaciones entre los diferentes mundos posibles, utilizando los conceptos de posibilidad y necesidad (certeza). Una proposición posible es verdadera en algún mundo posible (su probabilidad es mayor que cero). Una proposición imposible es falsa en todos los mundos posibles (su probabilidad es cero). Una proposición necesaria, cierta, segura, es verdadera en todos los mundos posibles (su probabilidad es uno, es una tautología). Una proposición contingente es una proposición no necesaria. Un mundo posible debe ser consistente y coherente; la posibilidad puede referirse a distintos niveles (lógico, matemático, físico). Dada una descripción de un mundo (total o parcial, según el conocimiento del mismo), una proposición es posible si es compatible con lo ya conocido.

Los operadores de la lógica modal no son veritativo funcionales. Las modalidades de posibilidad y necesidad se expresan con las constantes lógicas M y N, los operadores modales. Mp significa que es posible que p. Np significa que es necesario que p. Los operadores modales pueden ser iterados y combinados con conectivas lógicas para formar proposiciones complejas. Las relaciones entre mundos particulares y los operadores modales sobre todos los mundos posibles incluyen la generalización existencial (pÞMp, si se cumple una proposición, entonces es posible que se cumpla esa proposición), y la particularización universal (NpÞp, si una proposición es necesaria, entonces esa proposición se cumple).

Existen relaciones lógicas entre los operadores modales y la negación. Mp = ~N~p, p es posible si y sólo si su negación no es necesaria; p es verdadero en algún mundo posible si y sólo si su negación no es verdadera en todos los mundos posibles. Np = ~M~p, p es necesario si y sólo si su negación no es posible; p es verdadero en todos los mundos posibles si y sólo si la negación de p no es verdadera en ningún mundo posible.

La implicación estricta N(pÞq) significa que pÞq es verdadera en todos los mundos posibles. La implicación estricta no es veritativo funcional, su valor de verdad no puede ser calculado a partir de los valores de verdad de p y q. Si p es verdadero sólo si q es verdadero, entonces el conjunto de verdad de p es un subconjunto del conjunto de verdad de q.

Lógica deóntica

La lógica deóntica estudia los conceptos éticos de permiso (posible, permitido, admisible, tolerable) y obligación (necesario, requerido, imperativo), los cuales tienen propiedades lógicas similares a la posibilidad y la necesidad. Los mundos posibles se refieren a ideales éticos, morales o legales. Un sistema ético, moral o legal especifica un conjunto de mundos legítimos posibles. Es obligatorio lo que debe ser verdad (lo que debe hacerse) para pertenecer al conjunto. Oq significa que q es verdadera en todos los mundos éticamente ideales. Está permitido lo que puede ser verdad (lo que puede hacerse) sin salirse del conjunto. Pq significa que q es verdadera en algún mundo éticamente ideal.

Las relaciones entre mundos particulares y los operadores deónticos sobre todos los mundos posibles incluyen la generalización existencial (qÞPq, si se cumple una proposición, entonces es permisible que se cumpla esa proposición), y la particularización universal (OqÞq, si una proposición es obligatoria, entonces esa proposición se cumple).

Existen relaciones lógicas entre los operadores deónticos y la negación. Pq = ~O~q, q es permisible si y sólo si su negación no es obligatoria; q es verdadera en algún mundo legítimo si y sólo si su negación no es verdadera en todos los mundos legítimos. Oq = ~P~q, q es obligatoria si y sólo si su negación no es permisible; q es verdadera en todos los mundos legítimos si y sólo si su negación no es verdadera en ningún mundo legítimo.

Estas relaciones son válidas dada la definición de mundo posible como aquel que es éticamente legítimo. Si el conjunto de mundos posibles se extiende para incluir mundos no éticamente ideales, entonces estas relaciones no son necesariamente válidas. En este caso, el conjunto de mundos éticamente legítimos es un subconjunto del conjunto de mundos lógicamente posibles. Un mundo particular puede ser un mundo posible pero no un mundo ético, y por lo tanto de lo que es (posibilidad lógica) no puede inferirse lo que debe ser (legitimidad ética), NOT(qÞPq), y de lo que debe ser no puede inferirse lo que es, NOT(OqÞq).

El lenguaje natural tiende a utilizar los mismos términos para expresar la necesidad lógica y la obligación ética (deber, tener que), y la posibilidad lógica y la permisividad ética (poder), lo cual es causa de confusión en las relaciones entre epistemología y ética.

Francisco Capella

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Francisco Capella