Inteligencia y Libertad |
Francisco Capella |
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PARADOJAS |
Aprende a pensarParadojasParadojasUna paradoja es una argumentación o afirmación absurda, que se presenta con apariencias de verdadera, o una forma de pensamiento que implica alguna contradicción o problema lógico, o una secuencia de argumentos aparentemente válidos que conduce a una conclusión que no puede ser verdadera. Una aporía es un enunciado que expresa algo que no es racionalmente viable, un problema sin solución o con conclusiones absurdas. Algunas paradojas son engaños sofisticados, otras iluminan los límites del razonamiento lógico. Las paradojas pueden referirse al infinito, a la lógica, a la autorreferencia, a la dualidad entre cambio y constancia, entre continuo y discreto. Paradojas del cambioAlgunos filósofos afirman que el universo es único, singular, eterno, permanente, constante e inmutable: el cambio, el movimiento y la multiplicidad son meras apariencias ilusorias. Diversas paradojas o aporías relacionadas con el movimiento y la continuidad han sido utilizadas para intentar demostrar que el movimiento, el cambio y la pluralidad son imposibles. Se trata de argumentos falaces, con defectos lógicos, en algunos casos además confusos, pero pueden ser útiles para estudiar conceptos matemáticos como sucesiones, series, límites y convergencia, infinito, y para reflexionar sobre temas básicos de física como la relatividad del movimiento y el carácter continuo o discreto del espacio y del tiempo. La paradoja de la dicotomía afirma que no puede haber movimiento, porque lo que se mueve debe alcanzar la mitad del recorrido antes de llegar al final, y antes de llegar a la mitad debe alcanzar la mitad de la mitad, y así indefinidamente hasta efectuar un número infinito de pasos, lo que imposibilita cualquier movimiento. El error no está en el planteamiento sino en la inferencia lógica, la conclusión de que como aparecen infinitos no hay movimiento posible. Todo el discurso sobre divisiones consecutivas infinitas puede ser muy interesante pero no tiene relación lógica con la conclusión que se pretende demostrar, es una maniobra de distracción que abruma a la mente para que no se dé cuenta de que la trampa está en otro sitio: el antecedente no implica el consecuente. En esta paradoja se construye una sucesión infinita de segmentos cada vez más pequeños, lo cual es idealmente posible en un conjunto continuo como es la recta real. Las matemáticas indican que existen series infinitas (sumas de infinitos términos de una sucesión) que tienen valor finito (la serie converge hacia un valor finito, su límite cuando el número de términos tiende a infinito). Una sucesión infinita de intervalos o cantidades infinitesimales (cada vez más pequeños de modo que tienden a cero) puede tener una suma total finita. La serie de esta paradoja es convergente tanto en el espacio (converge a la distancia total a recorrer) como en el tiempo (cada segmento recorrido tarda un determinado tiempo en función de la velocidad, que se supone constante, y la suma de infinitos intervalos de tiempo cada vez más pequeños resulta en este caso ser finita e igual a la duración total del movimiento). La serie infinita un medio más un cuarto más un octavo… tiene como suma 1, como puede verse gráficamente si cada miembro de la sucesión representa una sección (cada una adyacente a la anterior) de un cuadrado de lado 1. El error esencial de argumentación de esta paradoja no está en realizar una división indefinida del espacio y del tiempo, se trata de una idealización matemática permisible. Es cierto que en la realidad física esto quizás no puede hacerse, pero la paradoja no es un experimento en el mundo real, sino un intento de argumentación lógica: empíricamente se comprueba que en el mundo real el movimiento es posible. Las idealizaciones matemáticas continuas son representaciones útiles del mundo real, válidas como buenas aproximaciones pero tal vez inútiles en ciertos dominios. La mecánica cuántica indica que a muy pequeñas escalas el espacio y el tiempo no pueden considerarse ni como perfectamente continuos ni como perfectamente discretos, sino más bien difusos, imprecisos, fluctuantes. Los objetos cuánticos no son partículas puntuales, no tienen posiciones o velocidades definidas con precisión infinita, y los conceptos clásicos de posición y velocidad dejan de ser válidos. En el mundo real físico no puede realizarse un número infinito de tareas en un tiempo finito. La suposición de que las acciones tienen indefinidamente una duración cada vez menor no es válida, porque ciertos eventos o transiciones tienen duraciones finitas dadas que no pueden reducirse a voluntad, y porque existen límites cuánticos a la precisión en las mediciones temporales. La paradoja de la dicotomía inversa parece aún peor. No sólo no se puede alcanzar el objetivo final, tampoco se puede ni siquiera comenzar el movimiento, porque antes de llegar a la mitad hay que llegar a la mitad de la mitad, y así sucesivamente, y como esta serie no tiene un punto inicial no se puede comenzar. Se trata de las mismas series infinitas definidas al revés. La paradoja de Aquiles y los dioses muestra a Aquiles que quiere recorrer una distancia pero hay un número infinito de dioses que quieren impedírselo: uno pretende paralizar a Aquiles si alcanza la mitad del recorrido, otro si alcanza la mitad de la mitad y así sucesivamente. Aquiles no puede ni siquiera comenzar a correr, con el más mínimo movimiento encuentra a un dios que lo detiene; lo cual resulta extraño, porque ningún dios paraliza a Aquiles hasta que empieza a correr. En el mundo real una entidad que intente parar a Aquiles ocuparía un espacio finito, no podría haber infinitos bloqueadores. La paradoja de Aquiles y la tortuga es muy similar a la paradoja de la dicotomía, sólo que con dos móviles con movimiento relativo en lugar de un solo objeto móvil. La paradoja afirma que si Aquiles concede a la tortuga una ventaja en su carrera hacia la meta nunca la alcanzará aunque sea más rápido, ya que primero debe alcanzar el punto desde el cual partió la tortuga, que habrá avanzado algo, luego debe proceder hasta el punto al que la tortuga ha llegado cuando él llegaba al punto anterior, y así sucesivamente hasta el infinito, de modo que la tortuga siempre está por delante de Aquiles. Aquiles persigue a la tortuga, pero nunca la alcanza porque durante el tiempo que le toma alcanzar el punto donde comenzó la tortuga, esta ha avanzado una cierta distancia, y así indefinidamente. La estrategia del argumento es considerar un número infinito de espacios y tiempos cada vez más pequeños. La ventaja de la tortuga es cada vez menor, pero el número infinito de puntos parece implicar un tiempo infinito, de modo Aquiles no podrá alcanzar jamás a la tortuga aún cuando se vaya aproximando infinitamente a ella. El error está de nuevo en la falta de conexión lógica entre la argumentación previa y la conclusión, en creer que esta sucesión de estados implica un tiempo infinito (y por eso Aquiles nunca alcanza a la tortuga). Se trata de una serie convergente con resultado finito. Los cálculos realizados con series de posiciones y tiempos de ambos participantes en la carrera coinciden con los que se consiguen con un análisis cinemático del problema en función de la distancia concedida como ventaja y las velocidades de ambos. La paradoja de la flecha en movimiento indica que una flecha (o cualquier objeto) está o en reposo o en movimiento. Si en un instante dado se encuentra en una posición dada no tiene movimiento, por lo que el movimiento es imposible. La descripción matemática ideal del movimiento de objetos puntuales (espacio de fases) no incluye sólo la posición sino también la velocidad en cada instante, en función de la cual pueden calcularse las posiciones en otros instantes de tiempo. Estar en reposo no es lo mismo que estar en una posición en un instante dado, estar en reposo significa además que la velocidad es nula. Es cierto que en un instante dado no hay movimiento, todo movimiento requiere un intervalo de tiempo, pero tiene sentido una velocidad instantánea, el límite del cociente entre los incrementos de espacio y de tiempo cuando el intervalo temporal tiende a cero. Las personas engañadas por estas paradojas pueden no conocer los conceptos matemáticos de sucesiones, series, límites, convergencia, infinito, cálculo infinitesimal con derivadas e integrales, sistemas de referencia; el problema es que independientemente de este hecho, ninguna de sus conclusiones se deduce lógicamente de sus premisas o planteamiento, y todas ellas chocan con la realidad, lo cual indica claramente que hay algo erróneo en su argumentación. El engaño se consigue porque la mente tiende a bloquearse al considerar lo que no comprende, en estos casos lo infinito. El interruptorTenemos una lámpara con un interruptor de encendido y apagado. La lámpara se enciende al comienzo de un intervalo cualquiera de tiempo, y al llegar a la mitad se cambia su estado (se apaga), luego al llegar a la mitad de la mitad se vuelve a cambiar (se enciende), y así sucesivamente en cada mitad del tiempo que resta. ¿Es posible saber si al final del intervalo total de tiempo la lámpara estará encendida o apagada? Como la lámpara ha sido encendida un número infinito de veces, por cada vez que ha sido encendida ha sido apagada, y viceversa, luego no puede estar en ninguno de los dos estados; pero ha de estar en uno de los dos estados. Considerando sólo la idealización matemática, se trata de un sistema indecidible en ese punto, no está definido el estado de la lámpara para el instante final del periodo. En la realidad física es imposible realizar este experimento por varios motivos: entre ambos estados hay un tiempo de transición, el cambio nunca es instantáneo; al avanzar en el intervalo llega un momento en el cual el tiempo de transición es mayor que el tiempo de permanencia en cada estado; no existen relojes de precisión infinita capaces de indicar instantes cada vez más pequeños y enviar esa información al interruptor; ningún dispositivo real es capaz de funcionar adecuadamente un número infinito de veces sin romperse. Se puede eliminar la lámpara y hablar de cambio de estado o del valor de una función (0 y 1), pero entonces se vuelve al problema matemático no definido unívocamente en el punto final. Se trata de una función definida de forma recursiva para una serie infinita de puntos en función del valor de la función en el punto inmediatamente precedente, pero la función no está definida para el punto final del intervalo y la pregunta acerca de su valor en ese punto no tiene sentido. La idealización matemática es una representación de la realidad, pero no es la realidad misma. El estadioLa paradoja del estadio no involucra infinitos sino comparaciones entre movimientos en distintos sistemas de referencia. Comienza con tres filas de soldados (cada una con igual número de miembros y separación entre los mismos) en formación en un estadio. Una fila permanece quieta en el centro mientras que las otras dos se mueven con velocidades iguales y de sentido contrario, cada una desde uno de ambos lados y hacia el centro hasta que quedan las tres perfectamente alineadas. Sea C la fila del centro, I la que se mueve desde la izquierda y D la que se mueve desde la derecha. El primer soldado de I recorre un espacio igual a un soldado de C en el mismo tiempo que el primer soldado de D recorre dos soldados de I, y dado que los tamaños y espaciados de los soldados son iguales, la velocidad de los soldados de D es el doble que los de I, pero esto no puede ser porque hemos supuesto que ambos tienen la misma velocidad. En esta paradoja se comete el error de ignorar que todo movimiento es relativo, se considera respecto a un sistema de referencia, y que sólo pueden realizarse comparaciones con sentido dentro del mismo sistema de referencia; un cambio de sistema de referencia implica ciertas transformaciones que dependen de la velocidad relativa de ambos sistemas de referencia. Se están comparando de forma descuidada la velocidad de un objeto moviéndose con respecto a un sistema de referencia en reposo con la velocidad de otro objeto medida con respecto al sistema de referencia del primer objeto en movimiento. La partícula aceleradaSea el movimiento de una partícula durante un intervalo de tiempo, de modo que a la mitad de dicho intervalo se dobla su velocidad, a la mitad del tiempo restante se vuelve a doblar, y así indefinidamente. La posición final del móvil no está definida, tiende a infinito. Como espacio es igual a velocidad por tiempo, cada intervalo temporal es la mitad que el anterior y la velocidad el doble de la anterior, el espacio recorrido es el mismo (finito) en cada intervalo, y como hay un número infinito de intervalos la suma total no converge sino que tiende a infinito. En el mundo físico real este caso es imposible, los cambios de velocidad no son instantáneos (no hay aceleraciones ni fuerzas infinitas), y la relatividad especial indica que hay un límite de velocidad en la velocidad de la luz, y que para aproximarse a este límite es necesaria cada vez más energía. Paradojas autorreferencialesLas proposiciones son entidades lingüísticas que pueden decir algo acerca del mundo, y su verdad o falsedad se refiere a su correspondencia con la realidad. Las proposiciones forman parte del mundo, luego una proposición puede referirse a otra proposición o incluso referirse a sí misma de forma autorreferencial, decir algo acerca de sí misma. "Los grandes hombres somos modestos" parece una proposición autorreferencial pero no lo es. La proposición no habla de sí misma sino que se refiere a la persona que la enuncia. Es paradójica porque contiene una contradicción, el hombre modesto no se declara grande a sí mismo. No todas las proposiciones autorreferenciales son paradójicas. "Esta proposición tiene cuatro palabras" es autorreferencial y falsa. "Esta proposición tiene cinco palabras" es autorreferencial y verdadera. Algunas proposiciones autorreferenciales que dicen algo acerca de su propio valor de verdad son problemáticas o paradójicas, no es posible asignarles un valor de verdad de forma consistente: suponerlas verdaderas o falsas lleva a conclusiones que cambian el estado de verdad inicialmente admitido de forma recursiva e indefinida, sin que nunca se alcance una situación estable. El problema con algunas de las proposiciones autorreferenciales es que no dicen nada acerca de la realidad externa a ellas mismas, y por lo tanto no son informativas, no puede comprobarse su valor de verdad con la ayuda de la realidad. Sólo es posible manipular su valor de verdad mediante operaciones lógicas como la anulación de la doble negación. Tal vez no tenga sentido asignarles un valor de verdad, no son ni verdaderas ni falsas. "Esta proposición es verdadera" es una proposición autorreferencial no problemática (puede considerarse verdadera o falsa) pero no proporciona ninguna información real. Paradoja del mentiroso"Esta proposición es falsa" es paradójica, ya que si se supone verdadera entonces es falsa, entonces es verdadera... y si se supone falsa entonces es verdadera entonces es falsa... Es equivalente a "Estoy mintiendo ahora", pero no es equivalente a "Siempre miento", o "Los hombres siempre mentimos" o similares, ya que estas últimas no pueden ser verdaderas pero sí pueden ser falsas. Es posible considerar no sólo proposiciones individuales autorreferenciales, sino sistemas de proposiciones colectivamente autorreferenciales, de modo que cada proposición se refiere a otra proposición del sistema. La frase siguiente es verdadera. La frase anterior es falsa.
Conjuntos autocontenidosUn conjunto contiene elementos, pero los elementos pueden ser también conjuntos con otros elementos (que a su vez pueden ser conjuntos…). Los conjuntos pueden ser de dos tipos: los que se contienen a sí mismos como miembros y los que no. Sea el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos: ¿está contenido en sí mismo como miembro? Si lo está, por definición no se contiene a sí mismo, luego no lo está. Pero si no lo está, por definición, debe estar. La idea de un conjunto que se contiene a sí mismo no es necesariamente problemática. El conjunto de todas las cosas que no son manzanas no es una manzana, luego se contiene a sí mismo de forma no paradójica. Paradoja del barberoEl único barbero de la ciudad en la cual nadie se deja barba dice que afeita a todos aquellos y sólo a aquellos que no se afeitan a sí mismos. Pero entonces ¿quién afeita al barbero? Si no se afeita a sí mismo es una de las personas que no se afeitan a sí mismas, con lo cual según su propia declaración debería afeitarse, siendo por tanto una de las personas que se afeitan a sí mismas, no debiendo por tanto afeitarse. La contradicción (es paradójica porque inicialmente puede parecer consistente) surge por la reflexividad y autorreferencia del barbero usando una regla que se refiere a afeitarse a sí mismo (no hay ningún problema con las demás personas del pueblo). El problema puede plantearse de una forma diferente: en un pueblo donde nadie se deja barba, ¿es posible la existencia de un único barbero que afeita a todos aquellos y sólo a aquellos que no se afeitan a sí mismos? La respuesta es no. Adjetivos autodescriptivosLos adjetivos pueden ser autodescriptivos (se puede aplicar a sí mismo) y no-autodescriptivos (no puede aplicarse a sí mismo). "Polisilábico", "corto", "castellano" son autodescriptivos ("polisilábico" tiene más de dos sílabas, luego es polisilábico, "corto" es corto, "castellano" es castellano), mientras que "monosilábico", "largo" y "alemán" son no-autodescriptivos ("monosilábico" no tiene sólo una sílaba, "largo" no es largo y "alemán" no es alemán. El adjetivo "no-autodescriptivo": ¿es autodescriptivo o no-autodescriptivo? No puede ser ni lo uno ni lo otro. Pleito sobre honorariosUn maestro y un alumno de leyes pactan que el alumno pagará los honorarios de la enseñanza del maestro cuando gane su primer pleito y sólo si lo gana. Terminado el curso el alumno no conseguía ningún cliente, así que el maestro le demandó por impago. El alumno argumenta que gane o pierda el pleito no tendrá que pagar al maestro: si gana el pleito la justicia afirma que no debe pagar; si pierde el pleito el pacto con su maestro indica que no debe pagar. El maestro argumenta que gane o pierda el pleito tendrá que recibir el pago del alumno: si gana el pleito la justicia afirma que debe recibir su paga; si pierde el pleito implica que el alumno ha ganado su primer pleito y por su pacto debe pagarle. La paradoja se produce porque ambas partes aceptan la decisión del tribunal sólo si les favorece, y si no es así recurren al pacto original, un contrato defectuoso pues permite que se produzca este caso contradictorio sin indicar qué solución sería aceptable. Si no fueran a juicio no habría paradoja. Si van a juicio ¿se supone que aceptan lo que diga el tribunal, o sólo utilizan el resultado para poder aplicar el pacto previo? El guardián de la puertaTodo el que quiera pasar al interior de la ciudad es interrogado acerca de sus intenciones: si dice la verdad se le permite pasar, y si miente es ejecutado. Un día un viajero responde que viene a ser ejecutado. Si se considera que dice la verdad y se le deja pasar ha mentido, y si se considera que ha mentido se le ejecuta y entonces ha dicho la verdad. El guardián de la puerta utiliza un algoritmo de decisión paradójico. Frases curiosasYa nadie va a ese restaurante, está demasiado lleno. Me alegro de que no me gusten las espinacas, porque si me gustaran me las comería, y saben fatal. Solicita ayuda si no puedes leer esta frase. No te acerques al agua hasta que aprendas a nadar. Si recibes este mensaje llámame, si no no te molestes. El hotel infinitoSea un hotel con infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, 4... Una noche que el hotel estaba lleno llegó un cliente pidiendo una habitación. El director no vio problema ninguno: hizo que cada cliente se moviese a la habitación siguiente, de modo que el de la habitación 1 pasase a la 2, el de la 2 a la tres, y así sucesivamente, de modo que todo el mundo quedó alojado y la habitación 1 libre para el recién llegado. Al día siguiente llegó un autocar con infinitos turistas pidiendo habitación. El director movió al ocupante de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 4, al de la 4 a la 8, y así sucesivamente; también movió al ocupante de la habitación 3 a la 6, al de la 6 a la 12, y así sucesivamente; también movió al ocupante de la habitación 5 a la 10, al de la 10 a la 20, y así sucesivamente; y así para todos los números impares según la regla n a 2n, de modo que todas las habitaciones impares quedaron disponibles para los nuevos huéspedes. Raíces y cuadradosLos cuadrados son aquellos números que se obtienen multiplicando un número natural, la raíz, por sí mismo: 1 es cuadrado de 1, 4 es cuadrado de 2, 9 es cuadrado de 3... Hay tantas raíces como cuadrados: cada raíz produce un cuadrado y todo cuadrado tiene una raíz diferente. Hay tantas raíces como números naturales, pues todo número es raíz de su cuadrado. En conclusión, hay tantos cuadrados como números naturales, lo cual es curioso, pues no todos los números naturales son cuadrados (cuanto mayores son los números, menor es la cantidad de cuadrados). Esta paradoja no se produce sólo con los cuadrados sino con cualquier función biunívoca definida sobre los números naturales (el fundamento de la enumerabilidad) de modo que el conjunto imagen y el conjunto origen sean infinitos pero no tengan los mismos elementos. Ejecución por sorpresaUn prisionero es sentenciado a muerte; el juez le dice que lo matarán a mediodía un día de la semana próxima (de lunes a domingo) y que el día será una sorpresa para él. El prisionero piensa: si el sábado por la tarde sigo vivo es que me matarán el domingo, luego ya sabría el día de mi muerte y no sería una sorpresa, luego no pueden matarme el domingo (y si el sábado por la tarde estoy muerto ya no pueden matarme el domingo); si el viernes por la tarde sigo vivo es que me matarán el sábado, luego ya sabría el día de mi muerte y no sería una sorpresa, luego no pueden matarme el sábado (y si el viernes por la tarde estoy muerto ya no pueden matarme el sábado); y utilizando esta misma lógica hacia atrás infiere que no pueden matarle tampoco el viernes, ni el jueves, ni el miércoles, ni el martes y sorprenderle; sólo podrían matarlo el lunes pero no sería una sorpresa. El prisionero fue ejecutado el miércoles y quedó muy sorprendido.
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